¿Qué es la calculadora de regresión lineal por mínimos cuadrados?
Esta herramienta ajusta la mejor recta posible \(y = A + B \cdot x\) a un conjunto de puntos (x, y) mediante el método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO). Como resultado obtienes la pendiente B, la ordenada en el origen A, las medias de x e y, las sumas de cuadrados, la ecuación ajustada y el coeficiente de correlación de Pearson r, junto con una guía rápida que te indica con palabras qué tan fuerte es esa correlación.
Cómo usarla
Escribe un par (x, y) por línea en el cuadro de datos, separado por una coma o un espacio; por ejemplo 1, 2. Las líneas vacías o incompletas y las celdas no numéricas simplemente se ignoran. Necesitas al menos dos pares válidos para que la recta quede definida. Elige cuántas cifras significativas quieres mostrar (esto solo cambia el formato, no el cálculo) y consulta la pendiente, la ordenada y el valor de r.
La fórmula explicada
Con n pares válidos se calculan las medias \(\bar{x} = \sum x_i / n\) e \(\bar{y} = \sum y_i / n\). A continuación, las sumas de cuadrados y de productos cruzados: $$S_{xx} = \sum x_i^2 - n \cdot \bar{x}^2, \quad S_{yy} = \sum y_i^2 - n \cdot \bar{y}^2, \quad S_{xy} = \sum x_i y_i - n \cdot \bar{x} \cdot \bar{y}.$$ La pendiente es \(B = S_{xy}/S_{xx}\), la ordenada \(A = \bar{y} - B \cdot \bar{x}\) y el coeficiente de correlación \(r = S_{xy} / (\sqrt{S_{xx}} \cdot \sqrt{S_{yy}})\). Si todos los valores de x son idénticos (\(S_{xx} = 0\)), no es posible ajustar ninguna recta no vertical. Si \(S_{yy} = 0\), r queda indefinido y se devuelve como 0.
Ejemplo resuelto
Datos: (1,2), (2,4), (3,5), (4,4), (5,5), con \(n = 5\). \(\sum x = 15\), \(\sum y = 20\) \(\rightarrow \bar{x} = 3\), \(\bar{y} = 4\). \(\sum x^2 = 55 \rightarrow S_{xx} = 55 - 45 = 10\). \(\sum y^2 = 86 \rightarrow S_{yy} = 86 - 80 = 6\). \(\sum xy = 66 \rightarrow S_{xy} = 66 - 60 = 6\). Pendiente \(B = 6/10 = 0{,}6\); ordenada \(A = 4 - 0{,}6 \cdot 3 = 2{,}2\); y \(r = 6/\sqrt{60} \approx 0{,}7746\) (fuerte). Recta ajustada: $$y = 2{,}2 + 0{,}6 \cdot x.$$
Preguntas frecuentes
¿Qué significa r? r es el coeficiente de correlación de Pearson y va de −1 a +1. Los valores cercanos a ±1 indican una relación lineal fuerte; los próximos a 0 indican poca o ninguna relación lineal. Como orientación: \(|r| > 0{,}7\) fuerte, 0,4–0,7 moderada, 0,2–0,4 débil y por debajo de 0,2 nula.
¿Qué pasa si todos mis puntos están en vertical? Si todos los valores de x son iguales, \(S_{xx} = 0\) y no se puede ajustar una recta de mínimos cuadrados, por lo que la calculadora muestra un error.
¿La opción de cifras a mostrar cambia el resultado? No. Solo controla cuántas cifras significativas se muestran; la regresión siempre se calcula con la máxima precisión.
