रेखीय प्रतीपगमन (न्यूनतम वर्ग) कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल साधारण न्यूनतम वर्ग (OLS) विधि का उपयोग करते हुए (x, y) डेटा बिंदुओं के समूह में से सबसे उपयुक्त सीधी रेखा \(y = A + B \cdot x\) निकालता है। यह आपको ढलान B, अंतःखंड A, x और y के माध्य, वर्गों के योग, फ़िट समीकरण और पियर्सन सहसंबंध गुणांक \(r\) देता है — साथ ही एक संक्षिप्त शब्दों में बताता है कि वह सहसंबंध कितना मजबूत है।
इसका उपयोग कैसे करें
डेटा बॉक्स में हर पंक्ति में एक (x, y) जोड़ी डालें, जिन्हें कॉमा या स्पेस से अलग करें — उदाहरण के लिए 1, 2। खाली या अधूरी पंक्तियाँ और गैर-संख्यात्मक मान अनदेखे कर दिए जाते हैं। रेखा परिभाषित करने के लिए आपको कम से कम दो मान्य जोड़ियों की आवश्यकता है। यह तय करें कि कितने सार्थक अंक दिखाने हैं (इससे केवल प्रदर्शन बदलता है, गणित नहीं), और फिर ढलान, अंतःखंड व \(r\) पढ़ लें।
सूत्र की व्याख्या
n मान्य जोड़ियों के साथ, माध्य निकालें: \(\bar{x} = \sum x_i / n\) और \(\bar{y} = \sum y_i / n\)। फिर वर्गों और गुणन-योगों की गणना करें:
$$S_{xx} = \sum x_i^2 - n\,\bar{x}^2, \quad S_{yy} = \sum y_i^2 - n\,\bar{y}^2, \quad S_{xy} = \sum x_i y_i - n\,\bar{x}\,\bar{y}$$ढलान \(B = S_{xy}/S_{xx}\), अंतःखंड \(A = \bar{y} - B \cdot \bar{x}\), और सहसंबंध गुणांक \(r = S_{xy} / (\sqrt{S_{xx}} \cdot \sqrt{S_{yy}})\) होता है। यदि सभी x मान एक समान हों (\(S_{xx} = 0\)), तो कोई गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा फ़िट नहीं की जा सकती। यदि \(S_{yy} = 0\) हो, तो \(r\) अपरिभाषित होता है और उसे 0 के रूप में दिखाया जाता है।
हल किया गया उदाहरण
डेटा: (1,2), (2,4), (3,5), (4,4), (5,5), \(n = 5\)। \(\sum x = 15\), \(\sum y = 20\) → \(\bar{x} = 3\), \(\bar{y} = 4\)। \(\sum x^2 = 55\) → \(S_{xx} = 55 - 45 = 10\)। \(\sum y^2 = 86\) → \(S_{yy} = 86 - 80 = 6\)। \(\sum xy = 66\) → \(S_{xy} = 66 - 60 = 6\)। ढलान \(B = 6/10 = 0.6\), अंतःखंड \(A = 4 - 0.6 \cdot 3 = 2.2\), और \(r = 6/\sqrt{60} \approx 0.7746\) (मजबूत)। फ़िट रेखा:
$$y = 2.2 + 0.6 \cdot x$$अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(r\) का क्या अर्थ है? \(r\) पियर्सन सहसंबंध गुणांक है, जो −1 से +1 तक होता है। ±1 के निकट मान मजबूत रेखीय संबंध दर्शाते हैं; 0 के निकट होने का अर्थ है कि रेखीय संबंध कम या बिल्कुल नहीं है। एक मार्गदर्शिका के रूप में: \(|r| > 0.7\) मजबूत, 0.4–0.7 मध्यम, 0.2–0.4 कमजोर, 0.2 से कम कोई संबंध नहीं।
यदि मेरे सभी बिंदु ऊर्ध्वाधर हों तो क्या होगा? यदि हर x एक समान हो, तो \(S_{xx} = 0\) हो जाता है और न्यूनतम-वर्ग रेखा फ़िट नहीं की जा सकती — कैलकुलेटर एक त्रुटि दिखाता है।
क्या प्रदर्शन-अंक विकल्प उत्तर बदल देता है? नहीं। यह केवल यह नियंत्रित करता है कि कितने सार्थक अंक दिखाए जाएँ; प्रतीपगमन हमेशा पूर्ण परिशुद्धता पर गणना किया जाता है।
