Что это за калькулятор линейной регрессии?
Этот инструмент подбирает наилучшую прямую \(y = A + B\cdot x\) по набору точек (x, y) с помощью обычного метода наименьших квадратов (МНК). На выходе вы получаете наклон B, сдвиг (свободный член) A, средние значения x и y, суммы квадратов, готовое уравнение прямой, а также коэффициент корреляции Пирсона r — вместе с короткой словесной подсказкой о том, насколько сильна эта связь.
Как пользоваться
Вводите по одной паре (x, y) в строке, разделяя числа запятой или пробелом — например, 1, 2. Пустые и неполные строки, а также нечисловые значения программа пропускает. Чтобы построить прямую, нужно минимум две корректные пары. Выберите, сколько значащих цифр показывать (это влияет только на отображение, но не на сами расчёты), и считайте наклон, сдвиг и значение r.
Разбор формулы
При n корректных парах сначала вычисляем средние: \(\bar{x} = \sum x_i / n\) и \(\bar{y} = \sum y_i / n\). Затем суммы квадратов и смешанных произведений: \(S_{xx} = \sum x_i^2 - n\,\bar{x}^2\), \(S_{yy} = \sum y_i^2 - n\,\bar{y}^2\), \(S_{xy} = \sum x_i y_i - n\,\bar{x}\,\bar{y}\). Наклон равен \(B = S_{xy}/S_{xx}\), сдвиг \(A = \bar{y} - B\,\bar{x}\), а коэффициент корреляции \(r = S_{xy} / (\sqrt{S_{xx}} \cdot \sqrt{S_{yy}})\). Если все значения x одинаковы (\(S_{xx} = 0\)), невертикальную прямую построить нельзя. Если \(S_{yy} = 0\), коэффициент r не определён и выводится как 0.
Пример с расчётом
Данные: (1,2), (2,4), (3,5), (4,4), (5,5), n = 5. \(\sum x = 15\), \(\sum y = 20\) → \(\bar{x} = 3\), \(\bar{y} = 4\). \(\sum x^2 = 55\) → \(S_{xx} = 55 - 45 = 10\). \(\sum y^2 = 86\) → \(S_{yy} = 86 - 80 = 6\). \(\sum xy = 66\) → \(S_{xy} = 66 - 60 = 6\). Наклон \(B = 6/10 = 0{,}6\), сдвиг \(A = 4 - 0{,}6\cdot 3 = 2{,}2\), а \(r = 6/\sqrt{60} \approx 0{,}7746\) (сильная связь). Итоговая прямая:
$$y = 2{,}2 + 0{,}6\cdot x$$Частые вопросы
Что означает r? r — это коэффициент корреляции Пирсона, который меняется в диапазоне от −1 до +1. Значения, близкие к ±1, говорят о сильной линейной связи; значения около 0 — о её отсутствии. Ориентир такой: \(|r| > 0{,}7\) — сильная связь, 0,4–0,7 — умеренная, 0,2–0,4 — слабая, ниже 0,2 — практически нет.
Что если все мои точки лежат на вертикали? Если все значения x совпадают, то \(S_{xx} = 0\), и построить прямую методом наименьших квадратов невозможно — калькулятор сообщит об ошибке.
Влияет ли число отображаемых цифр на результат? Нет. Этот параметр задаёт только количество значащих цифр на экране; сама регрессия всегда рассчитывается с полной точностью.
