Что такое линейная интерполяция?
Линейная интерполяция — это способ оценить неизвестное значение, которое находится между двумя известными точками. Метод предполагает, что зависимость между точками описывается прямой линией, поэтому значение в любой промежуточной точке x можно «снять» прямо с этой прямой. Это один из самых распространённых приёмов в инженерных расчётах, статистике, финансах, химии и компьютерной графике — везде, где есть таблица значений, но нужен результат для точки, которой в таблице нет.
Как пользоваться калькулятором
Введите первую известную точку как x₁ и y₁, вторую известную точку как x₂ и y₂, а также целевое x, в котором нужно оценить y. Калькулятор покажет интерполированное значение y и угловой коэффициент (наклон) прямой, соединяющей две точки. Обычно целевое x лежит между x₁ и x₂, но та же формула позволяет и экстраполировать — выходить за пределы этого диапазона.
Разбор формулы
Формула выглядит так: $$y = \text{y}_1 + \left(\text{x} - \text{x}_1\right) \cdot \frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}$$. Выражение \(\frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}\) — это угловой коэффициент прямой между двумя точками. Умножая наклон на горизонтальное расстояние \((\text{x} - \text{x}_1)\), мы получаем вертикальное приращение относительно y₁, а прибавив его к y₁, находим значение в точке x. Если x₂ равно x₁, прямая становится вертикальной и интерполяция не определена, поэтому калькулятор защищён от деления на ноль.
Пример расчёта
Допустим, известно, что при x₁ = 1 значение равно y₁ = 2, а при x₂ = 3 значение равно y₂ = 6. Чему равно y при x = 2? Угловой коэффициент: $$\frac{6 - 2}{3 - 1} = 2.$$ Тогда $$y = 2 + (2 - 1) \times 2 = 4.$$ Интерполированное значение равно 4.
Частые вопросы
Можно ли экстраполировать за пределы двух точек? Да — введите x вне диапазона, и формула по-прежнему сработает, но экстраполяция менее надёжна, чем интерполяция.
Что делать, если данные нелинейны? Линейная интерполяция даёт приближённый результат. Для криволинейных данных берите точки как можно ближе друг к другу либо используйте полиномы или сплайны.
Зачем показывается угловой коэффициент? Наклон показывает скорость изменения между двумя точками и подтверждает направление тренда.
