线性插值计算器

输入计算

结果

插值结果 y

在目标点 x 处

斜率 (y₂−y₁)/(x₂−x₁)	2

什么是线性插值？

线性插值是一种用于估算落在两个已知数据点之间的未知值的方法。它假设两点之间的关系是一条直线，因此可以直接在这条直线上读出任意中间 x 处对应的数值。无论是工程、统计、金融、化学还是计算机图形学，只要你手头有一张数据表，却需要查找表中没有列出的某个点的结果，线性插值都是最常用的技术之一。

x-y 图上由直线连接的两个已知点，中间有一个插值点 — 线性插值在两个已知点之间的直线上估算未知的 y 值。

如何使用本计算器

将第一个已知点填入 x₁ 和 y₁，将第二个已知点填入 x₂ 和 y₂，再输入你想估算 y 值的目标 x。计算器会返回插值得到的 y 值，并给出连接两点的直线斜率。目标 x 通常位于 x₁ 与 x₂ 之间，不过同一个公式也可以外推到这一区间之外。

公式详解

计算公式为 $$y = y_1 + \left(x - x_1\right) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$。其中 $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 就是两点之间直线的斜率。用这个斜率乘以水平距离 $\left(x - x_1\right)$，便得到相对于 $y_1$ 的纵向变化量，再加回 $y_1$ 就是 x 处对应的数值。如果 $x_2$ 等于 $x_1$，直线将变成竖直方向，插值无意义，因此计算器会对除以零的情况进行防护。

斜率三角形示意图，显示插值公式中两点之间纵向增量与横向增量之比 — 该公式根据到第一个点的距离对已知斜率（纵向增量除以横向增量）进行缩放。

实例演示

假设你已知：当 $x_1 = 1$ 时数值 $y_1 = 2$，当 $x_2 = 3$ 时数值 $y_2 = 6$。那么当 $x = 2$ 时 y 等于多少呢？斜率为 $$\frac{6 - 2}{3 - 1} = 2$$ 于是 $$y = 2 + \left(2 - 1\right) \times 2 = 4$$ 插值结果即为 4。