ما هو الاستيفاء الخطي؟
الاستيفاء الخطي (Linear Interpolation) هو طريقة لتقدير قيمة مجهولة تقع بين نقطتي بيانات معلومتين. تفترض هذه الطريقة أن العلاقة بين النقطتين تمثّل خطًا مستقيمًا، وبالتالي يمكن قراءة القيمة عند أي نقطة x وسطية مباشرةً من هذا الخط. وهو من أكثر الأساليب استخدامًا في الهندسة والإحصاء والمالية والكيمياء ورسومات الحاسوب، خاصةً عندما يكون لديك جدول قيم لكنك تحتاج إلى نتيجة لنقطة غير مدرجة فيه.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل نقطتك المعلومة الأولى على شكل x₁ وy₁، ونقطتك المعلومة الثانية على شكل x₂ وy₂، ثم قيمة x المستهدفة التي تريد تقدير y عندها. تعرض لك الحاسبة قيمة y المُستوفاة إلى جانب ميل الخط الواصل بين النقطتين. عادةً ما تقع قيمة x المستهدفة بين x₁ وx₂، لكن المعادلة نفسها تصلح أيضًا للاستقراء (extrapolation) خارج هذا النطاق.
شرح المعادلة
المعادلة هي $$y = \text{y}_1 + \left(\text{x} - \text{x}_1\right) \cdot \frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}$$ يمثّل الحد \(\frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}\) ميل الخط بين النقطتين. وعند ضرب هذا الميل في المسافة الأفقية \(\left(\text{x} - \text{x}_1\right)\) نحصل على مقدار التغيّر الرأسي عن y₁، وبإضافته إلى y₁ نحصل على القيمة عند x. وإذا كانت x₂ تساوي x₁ يصبح الخط رأسيًا ويتعذّر الاستيفاء، لذلك تتحقق الحاسبة وتمنع القسمة على صفر.
مثال محلول
لنفترض أنك تعلم أنه عند x₁ = 1 تكون القيمة y₁ = 2، وعند x₂ = 3 تكون القيمة y₂ = 6. فما هي قيمة y عندما تكون x = 2؟ الميل يساوي \(\frac{6 - 2}{3 - 1} = 2\). ومن ثَمّ $$y = 2 + \left(2 - 1\right) \times 2 = 4$$ إذن القيمة المُستوفاة هي 4.
الأسئلة الشائعة
هل يمكنني الاستقراء خارج النقطتين؟ نعم — أدخل قيمة x خارج النطاق وستظل المعادلة سارية، لكن الاستقراء أقل موثوقية من الاستيفاء.
ماذا لو كانت بياناتي غير خطية؟ يعطي الاستيفاء الخطي قيمة تقريبية. وبالنسبة للبيانات المنحنية، حافظ على تقارب النقطتين أو استخدم طرق كثيرات الحدود (polynomial) أو الـ spline.
لماذا يُعرض الميل؟ يخبرك الميل بمعدل التغيّر بين نقطتيك ويؤكّد اتجاه الميل العام للبيانات.
