ما هو الاستقراء الخطي؟
الاستقراء الخطي هو طريقة لتقدير قيمة مجهولة تقع خارج نطاق بياناتك المعروفة، وذلك عبر مدّ الخط المستقيم الذي تحدده نقطتان. فإذا كانت لديك نقطتان، \((x_1, y_1)\) و\((x_2, y_2)\)، يمكنك توقّع اتجاه الخط إلى الأمام (أو إلى الوراء) لإيجاد قيمة y عند أي قيمة x تختارها. وتقوم هذه الحاسبة بذلك على الفور، كما تعرض لك ميل الخط أيضًا.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل إحداثيات النقطتين المعروفتين — \(x_1\) و\(y_1\) ثم \(x_2\) و\(y_2\) — وبعدها اكتب قيمة x التي تريد تقدير y عندها. اضغط على زر الحساب لتحصل على قيمة y المستقرَأة إضافةً إلى ميل خط الاتجاه. وتعمل الأداة نفسها للاستيفاء (interpolation) أيضًا عندما تكون x واقعة بين النقطتين، لكنها تكون أكثر فائدة عند توقّع قيم خارج نطاق بياناتك.
شرح المعادلة
الخط المار بنقطتين له ميل يساوي \(m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1)\). وانطلاقًا من النقطة الأولى، تكون قيمة y عند أي x كالتالي:
$$y = y_1 + \left(x - x_1\right) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$يمثّل المقدار \((x - x_1)\) مدى المسافة التي تقطعها على المحور الأفقي ابتداءً من النقطة الأولى، وعند ضربه في الميل تحصل على مقدار تغيّر y عبر تلك المسافة.
مثال تطبيقي
لنفترض أن المبيعات كانت وحدتين في الأسبوع الأول (\(x_1=1\)، \(y_1=2\)) و6 وحدات في الأسبوع الثالث (\(x_2=3\)، \(y_2=6\)). يكون الميل \((6 - 2)/(3 - 1) = 4/2 = 2\) وحدة في الأسبوع. ولتوقّع الأسبوع الخامس (\(x=5\)): $$y = 2 + (5 - 1)\cdot 2 = 2 + 8 = 10 \text{ وحدات}$$
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين الاستيفاء والاستقراء؟ الاستيفاء يقدّر قيمة داخل النطاق المعروف، أما الاستقراء فيتوقّع قيمة خارجه. الحسابات الرياضية متطابقة في الحالتين، لكن الاستقراء ينطوي على قدر أكبر من عدم اليقين.
لماذا يُعدّ الاستقراء محفوفًا بالمخاطر؟ لأنه يفترض أن الاتجاه الخطي يستمر دون تغيّر. وفي الواقع كثيرًا ما تنحني البيانات أو تتغير، لذا قد تكون القيم البعيدة عن نطاقك غير موثوقة.
هل يمكن أن تساوي \(x_1\) قيمة \(x_2\)؟ لا — فالخط العمودي له ميل غير معرّف، لذا يجب أن تختلف قيمتا x ليكون الحساب صحيحًا.
