ما هو الاستيفاء الخطي؟
الاستيفاء الخطي طريقة لتقدير قيمة مجهولة تقع بين نقطتين معلومتين، بافتراض أن العلاقة بينهما تمثّل خطًا مستقيمًا. وهو من أكثر الأساليب شيوعًا في الهندسة والإحصاء والمالية والعلوم، خاصة عندما يكون لديك جدول قيم وتحتاج إلى قراءة تقع بين المدخلات المدرجة فيه.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل إحداثيات نقطتيك المعلومتين: (x₁، y₁) و(x₂، y₂)، ثم أدخل قيمة x التي تريد حساب نتيجتها. تعرض الحاسبة قيمة y المستوفاة إلى جانب ميل الخط الواصل بين النقطتين. ويمكن أيضًا أن تقع قيمة x خارج النقطتين، وفي هذه الحالة تكون النتيجة استقراءً (extrapolation) خطيًا.
شرح المعادلة
معادلة الاستيفاء هي $$y = \text{y}_1 + \left(\text{x} - \text{x}_1\right) \cdot \frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}$$. الكسر \(\frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}\) يمثّل ميل الخط المار بالنقطتين. وضرب هذا الميل في \((\text{x} - \text{x}_1)\) يقيس مقدار ابتعاد x عن x₁، ثم إضافة y₁ تُزيح النتيجة إلى الارتفاع الابتدائي الصحيح.
مثال محلول
لنفترض أنك تعرف النقطتين (1، 2) و(4، 8)، وتريد معرفة قيمة y عند \(x = 3\). الميل هو \(\frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2\). ثم $$y = 2 + (3 - 1) \times 2 = 2 + 4 = 6$$ إذًا القيمة المستوفاة هي 6.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تقع x خارج النقطتين؟ نعم. إذا كانت x أقل من x₁ أو أكبر من x₂ فإن المعادلة تجري استقراءً خطيًا، أي تفترض أن الاتجاه يستمر على نفس الخط المستقيم.
ماذا لو كانت x₁ تساوي x₂؟ في هذه الحالة تشترك النقطتان في القيمة نفسها لـ x، فيصبح الميل غير معرّف (قسمة على صفر). تتعامل الحاسبة مع هذه الحالة وتعيد قيمة y₁.
هل هذا مثل خط الاتجاه (Trendline)؟ هو خط مستقيم يمر بنقطتين فقط. أما خط اتجاه الانحدار فيستخدم عددًا كبيرًا من النقاط، بينما يعتمد الاستيفاء على النقطتين اللتين تُدخلهما فقط.
