ما هو خط انحدار المربعات الصغرى؟
خط انحدار المربعات الصغرى هو الخط المستقيم الذي يلائم مجموعة من النقاط المزدوجة (x، y) على أفضل وجه ممكن. ويُقصد بـ"أفضل ملاءمة" أنه يقلل إلى أدنى حد مجموع مربعات المسافات العمودية بين كل نقطة مرصودة والخط. وتأتي النتيجة على صورة معادلة من الشكل \(y = mx + b\)، حيث يمثل \(m\) الميل و\(b\) نقطة تقاطع المحور الصادي. وهذا هو الأساس الذي يقوم عليه الانحدار الخطي في علم الإحصاء، ويُستخدم لنمذجة العلاقات وإجراء التنبؤات.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
أدخل قيم X وقيم Y على هيئة قوائم مفصولة بفواصل، مع التأكد من أن لكل قائمة العدد نفسه من المدخلات وأن ترتيب الأزواج متطابق. اضغط على زر الحساب لتحصل على الميل، والتقاطع، والمعادلة الكاملة للانحدار، ومعامل الارتباط (r)، ومعامل التحديد (R²). فكلما اقتربت قيمة R² من 1 دلّ ذلك على أن الخط يفسر معظم التباين، وكلما اقتربت من 0 دلّ ذلك على ملاءمة خطية ضعيفة.
شرح المعادلة
بالنسبة إلى عدد من النقاط مقداره \(n\)، يُحسب الميل بالعلاقة $$m = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{n\sum x^{2} - \left(\sum x\right)^{2}}$$ وبعد معرفة قيمة \(m\) يُحسب التقاطع بالعلاقة $$b = \frac{\sum y - m\sum x}{n}$$ وهنا تمثل \(\sum xy\) مجموع حواصل ضرب كل \(x\) في ما يقابلها من \(y\)، و\(\sum x^{2}\) مجموع مربعات قيم \(x\)، أما \(\sum x\) و\(\sum y\) فهما المجموعان البسيطان للقيم. ويقيس المقام مدى تشتت قيم \(x\)؛ فإذا كانت جميع قيم \(x\) متطابقة كان المقام صفرًا وتعذّر إيجاد أي خط.
مثال محلول
لنأخذ X = 1، 2، 3، 4، 5 وY = 2، 4، 5، 4، 5. عندئذٍ يكون \(n = 5\)، \(\sum x = 15\)، \(\sum y = 20\)، \(\sum xy = 64\)، \(\sum x^{2} = 55\). ويكون الميل $$m = \frac{5\cdot 64 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 15^{2}} = \frac{320 - 300}{275 - 225} = \frac{20}{50} = 0.6$$ أما التقاطع فهو $$b = \frac{20 - 0.6\cdot 15}{5} = \frac{20 - 9}{5} = 2.2$$ وبذلك يكون خط أفضل ملاءمة هو $$y = 0.6x + 2.2$$
الأسئلة الشائعة
ماذا يخبرني معامل التحديد R²؟ R² هو نسبة التباين في Y الذي يفسره الخط، وتتراوح قيمته بين 0 و1.
هل يجب أن يتساوى عدد قيم X وY؟ نعم، فلا بد أن تقترن كل قيمة x بقيمة y واحدة. وإذا اختلف العددان تعتمد الحاسبة طول القائمة الأقصر.
هل يمكن أن يكون الميل سالبًا؟ بالتأكيد؛ فالميل السالب يعني أن قيم Y تميل إلى التناقص كلما زادت قيم X.
