什麼是最小平方回歸直線？
最小平方回歸直線，是最能貼近一組成對 (x, y) 資料點的那條直線。所謂「最佳擬合」，指的是讓每個觀測點與直線之間「垂直距離平方」的總和達到最小。最後得到的會是一條形如 \(y = mx + b\) 的方程式，其中 \(m\) 是斜率、\(b\) 是 y 截距。這正是統計學中線性迴歸的根基，用來描述變數之間的關係並進行預測。
計算器使用方式
請將你的 X 值與 Y 值分別以逗號分隔輸入，並確認兩串數字的個數相同，且配對順序一致（第一個 x 對應第一個 y，依此類推）。按下計算後，你會立即看到斜率、截距、完整的回歸方程式、相關係數 (r) 以及判定係數 (R²)。R² 越接近 1，代表這條直線能解釋大部分的資料變異；越接近 0，則表示線性擬合的效果偏弱。
公式解析
對於 \(n\) 個資料點，斜率為 $$m = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{n\sum x^{2} - \left(\sum x\right)^{2}}$$ 求出 \(m\) 後，截距為 $$b = \frac{\sum y - m\sum x}{n}$$ 這裡的 \(\sum xy\) 是每個 x 乘上對應 y 後的總和，\(\sum x^{2}\) 是各個 x 平方後的總和，而 \(\sum x\)、\(\sum y\) 則是單純的加總。分母代表 x 值的離散程度；若所有 x 值都相同，分母會等於 0，此時就無法擬合出任何直線。
範例演算
假設 X = 1, 2, 3, 4, 5、Y = 2, 4, 5, 4, 5。則 \(n = 5\)、\(\sum x = 15\)、\(\sum y = 20\)、\(\sum xy = 64\)、\(\sum x^{2} = 55\)。斜率 $$m = \frac{5\cdot 64 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 15^{2}} = \frac{320 - 300}{275 - 225} = \frac{20}{50} = 0.6$$ 截距 $$b = \frac{20 - 0.6\cdot 15}{5} = \frac{20 - 9}{5} = 2.2$$ 因此最佳擬合直線為 $$y = 0.6x + 2.2$$
常見問題
R² 到底告訴我什麼？R² 是 Y 的變異中能被這條直線解釋的比例，數值介於 0 到 1 之間。
X 和 Y 的個數一定要一樣嗎？是的，每一個 x 都必須對應一個 y。若兩串長度不同，計算器會以較短的那一串為準。
斜率可以是負的嗎？當然可以；負斜率代表 Y 會隨著 X 增加而傾向減少。
