Qu'est-ce que la droite de régression des moindres carrés ?
La droite de régression des moindres carrés est la droite qui s'ajuste le mieux à un ensemble de couples de données (x, y). Le « meilleur ajustement » signifie qu'elle minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre chaque point observé et la droite. On obtient une équation de la forme \(y = mx + b\), où m est la pente et b l'ordonnée à l'origine. C'est le fondement de la régression linéaire en statistique, utilisée pour modéliser des relations et faire des prévisions.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez vos valeurs X et vos valeurs Y sous forme de listes séparées par des virgules, en veillant à ce que les deux listes comptent le même nombre d'éléments et que l'ordre des couples corresponde. Cliquez sur « Calculer » et vous obtiendrez la pente, l'ordonnée à l'origine, l'équation complète de la régression, le coefficient de corrélation (r) et le coefficient de détermination (R²). Un R² proche de 1 indique que la droite explique l'essentiel de la variation ; proche de 0, l'ajustement linéaire est faible.
La formule expliquée
Pour n points de données, la pente vaut $$m = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{n\sum x^{2} - \left(\sum x\right)^{2}}$$ Une fois m connue, l'ordonnée à l'origine est $$b = \frac{\sum y - m\sum x}{n}$$ Ici, \(\sum xy\) est la somme de chaque x multiplié par son y, \(\sum x^{2}\) la somme des carrés des valeurs de x, et \(\sum x\), \(\sum y\) les totaux simples. Le dénominateur mesure la dispersion des valeurs de x ; si toutes les valeurs de x sont identiques, il est nul et aucune droite ne peut être ajustée.
Exemple résolu
Prenons X = 1, 2, 3, 4, 5 et Y = 2, 4, 5, 4, 5. On a alors \(n = 5\), \(\sum x = 15\), \(\sum y = 20\), \(\sum xy = 64\), \(\sum x^{2} = 55\). Pente $$m = \frac{5\cdot 64 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 15^{2}} = \frac{320 - 300}{275 - 225} = \frac{20}{50} = 0{,}6$$ Ordonnée à l'origine $$b = \frac{20 - 0{,}6\cdot 15}{5} = \frac{20 - 9}{5} = 2{,}2$$ La droite d'ajustement est donc $$y = 0{,}6x + 2{,}2$$
FAQ
Que m'indique le R² ? Le R² est la proportion de la variance de Y expliquée par la droite, comprise entre 0 et 1.
X et Y doivent-ils avoir le même nombre de valeurs ? Oui : chaque x doit être associé à un seul y. Si les listes diffèrent, le calculateur retient la longueur de la plus courte.
La pente peut-elle être négative ? Tout à fait ; une pente négative signifie que Y tend à diminuer lorsque X augmente.
