Qu'est-ce que la régression quadratique ?
La régression quadratique consiste à ajuster un polynôme du second degré de la forme \(y = A + B\cdot x + C\cdot x^{2}\) à un ensemble d'observations appariées (x, y). Contrairement à une droite, une parabole peut rendre compte de la courbure des données — une série qui monte puis redescend, ou qui s'accélère. C'est pourquoi elle est largement utilisée en physique (mouvement des projectiles), en économie (courbes de coûts) et dans toute situation où la relation entre deux variables s'incurve. Il s'agit de mathématiques et de statistiques pures : la méthode fonctionne partout de la même manière, sans dépendre d'aucune règle ni unité régionale.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez vos points de données dans la zone prévue, un couple par ligne, en séparant x et y par un espace ou une virgule (par exemple 3, 5). Il vous faut au moins trois points pour déterminer les trois coefficients A, B et C ; plus vous en fournissez, plus l'ajustement est fiable. Choisissez le nombre de chiffres significatifs à afficher, puis relevez A, B, C, l'équation de régression complète ainsi que le coefficient de corrélation r.
La formule expliquée
Les coefficients sont obtenus par la méthode des moindres carrés. Avec n points, calculez les moyennes \(\bar{x}\), \(\bar{y}\) et la moyenne des carrés \(\overline{x^2}\). Formez ensuite les sommes centrées \(S_{xx}\), \(S_{xy}\), \(S_{xx^2}\), \(S_{x^2x^2}\) et \(S_{x^2y}\) à l'aide des identités sur les moments bruts (par exemple \(S_{xx} = \Sigma x^{2} - n\cdot\bar{x}^{2}\)). En posant \(\text{denom} = S_{xx}\cdot S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}\), les coefficients valent
$$y = A + Bx + Cx^{2}$$$$\text{où}\quad \left\{ \begin{aligned} B &= \frac{S_{xy}\,S_{x^2x^2} - S_{x^2y}\,S_{xx^2}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ C &= \frac{S_{x^2y}\,S_{xx} - S_{xy}\,S_{xx^2}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ A &= \bar{y} - B\,\bar{x} - C\,\overline{x^2} \end{aligned} \right.$$Le coefficient de corrélation r est la racine carrée de 1 moins le rapport entre la somme des carrés des résidus et la somme totale des carrés.
Exemple résolu
Pour les points (1,1), (2,2), (3,5), (4,10), (5,17) : \(n = 5\), \(\bar{x} = 3\), \(\bar{y} = 7\), \(\overline{x^2} = 11\). On obtient \(S_{xx} = 10\), \(S_{xy} = 40\), \(S_{xx^2} = 60\), \(S_{x^2x^2} = 374\), \(S_{x^2y} = 254\), \(\text{denom} = 140\). Il vient alors \(B = -2\), \(C = 1\), \(A = 2\). L'ajustement est \(y = 2 - 2x + x^{2}\), qui passe exactement par chaque point : on a donc \(r = 1\).
FAQ
Combien de points me faut-il ? Au moins trois valeurs de x distinctes ; avec moins de points, ou si tous les x sont identiques, le système est dégénéré et ne peut pas être résolu.
Que signifie r ? À titre indicatif : \(0{,}7 < |r| \le 1\) indique une corrélation forte, \(0{,}4 < |r| < 0{,}7\) modérée, \(0{,}2 < |r| < 0{,}4\) faible, et en dessous de 0,2 quasi inexistante. Une valeur de 1 signifie que la parabole passe par tous les points.
Pourquoi r n'est-il jamais négatif ici ? Ce calculateur renvoie la racine positive du coefficient de détermination ; r varie donc de 0 à 1, quel que soit le sens de la courbe.
