Qu'est-ce que la régression exponentielle ?
La régression exponentielle consiste à ajuster une courbe de la forme \(y = A\cdot e^{Bx}\) à un ensemble de couples de données. C'est l'outil de référence pour modéliser les grandeurs qui croissent ou décroissent à un rythme proportionnel à leur valeur actuelle : croissance d'une population, désintégration radioactive, intérêts composés ou encore cultures bactériennes. Ce calculateur est un pur outil mathématique et statistique : il s'applique partout de la même façon, sans aucune hypothèse propre à un pays.
Comment l'utiliser
Saisissez vos valeurs indépendantes dans le champ Valeurs X et vos valeurs dépendantes dans le champ Valeurs Y, sous forme de nombres séparés par des virgules. Les deux listes doivent comporter le même nombre d'entrées, il faut au moins deux points, et chaque valeur Y doit être strictement positive (la méthode repose sur le logarithme naturel de y). Choisissez la précision d'affichage, puis lisez les coefficients ajustés A et B, le coefficient de corrélation r ainsi que l'équation reconstituée.
La formule expliquée
Comme \(y = A\cdot e^{Bx}\) n'est pas linéaire, on la linéarise en prenant le logarithme naturel : \(\ln y = \ln A + B\cdot x\). On se ramène alors à une régression linéaire ordinaire de \(\ln(y)\) sur \(x\). À partir des sommes centrées \(S_{xx} = \sum (x - \bar{x})^2\), \(S_{yy} = \sum (\ln y - \overline{\ln y})^2\) et \(S_{xy} = \sum (x - \bar{x})(\ln y - \overline{\ln y})\), la pente vaut $$y = A\,e^{Bx}$$ $$\text{où}\quad \left\{ \begin{aligned} B &= \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(\ln y_i - \overline{\ln y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} \\ A &= \exp\!\left(\overline{\ln y} - B\,\bar{x}\right) \end{aligned} \right.$$ et \(A = \exp(\overline{\ln y} - B\cdot\bar{x})\). La corrélation \(r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}}}\) est comprise entre \(-1\) et \(1\) ; une valeur supérieure à \(0{,}7\) en valeur absolue indique un bon ajustement.
Exemple résolu
Pour \(x = [1, 2, 3, 4, 5]\) et \(y = [2{,}7\,;\ 7{,}4\,;\ 20{,}1\,;\ 54{,}6\,;\ 148{,}4]\) (soit approximativement \(e^{x}\)), on obtient \(S_{xx} = 10\), \(S_{xy} \approx 10{,}0115\) et \(S_{yy} \approx 10{,}0231\). On en déduit \(B \approx 1{,}0012\), \(A \approx 0{,}9956\) et \(r \approx 1{,}0000\). La courbe ajustée \(y \approx 0{,}9956\cdot e^{1{,}0012x}\) confirme que les données provenaient bien de \(y = e^{x}\).
FAQ
Pourquoi Y doit-il être positif ? La méthode calcule \(\ln(y)\) ; le logarithme de zéro ou d'un nombre négatif n'est pas défini, les valeurs Y nulles ou négatives sont donc rejetées.
Que signifie un r proche de 1 ? Que le modèle exponentiel décrit très bien les données. Une valeur proche de 0 indique au contraire une relation exponentielle faible, voire inexistante.
x peut-il être négatif ? Oui. X peut prendre n'importe quelle valeur réelle ; seule Y est limitée aux valeurs strictement positives.
