ما هو الانحدار الأسي؟
الانحدار الأسي هو أسلوب لمطابقة منحنى على الصورة \(y = A\,e^{Bx}\) مع مجموعة من نقاط البيانات المزدوجة. وهو الأداة المعيارية لنمذجة الكميات التي تنمو أو تتناقص بمعدل يتناسب مع حجمها الحالي، مثل النمو السكاني والاضمحلال الإشعاعي والفائدة المركبة ونمو المزارع البكتيرية. هذه الحاسبة أداة رياضية وإحصائية بحتة، لذا تُطبَّق بالطريقة نفسها في كل مكان دون أي افتراضات خاصة ببلد معيّن.
كيفية الاستخدام
أدخِل القيم المستقلة في خانة قيم X والقيم التابعة في خانة قيم Y، وكلاهما على هيئة أرقام مفصولة بفواصل. يجب أن تحتوي القائمتان على العدد نفسه من القيم، وأن يكون لديك نقطتان على الأقل، وأن تكون كل قيمة Y موجبة تمامًا (لأن الطريقة تعتمد على اللوغاريتم الطبيعي لـ y). اختَر دقة العرض، ثم اطّلِع على المعاملين المطابَقين A وB، ومعامل الارتباط r، والمعادلة المجمَّعة.
شرح الصيغة
بما أن المعادلة \(y = A\,e^{Bx}\) غير خطية، فإننا نحوّلها إلى صورة خطية بأخذ اللوغاريتم الطبيعي:
$$\ln y = \ln A + B\cdot x$$وهذا انحدار خطي عادي لـ \(\ln(y)\) في مقابل \(x\). وباستخدام المجاميع المركزية \(S_{xx} = \sum (x - \bar{x})^2\) و\(S_{yy} = \sum (\ln y - \overline{\ln y})^2\) و\(S_{xy} = \sum (x - \bar{x})(\ln y - \overline{\ln y})\)، يكون الميل \(B = S_{xy}/S_{xx}\) ويكون \(A = \exp(\overline{\ln y} - B\cdot\bar{x})\). أما معامل الارتباط \(r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}}}\) فتتراوح قيمته بين \(-1\) و\(1\)؛ والقيم التي يزيد مقدارها عن \(0.7\) تدل على مطابقة قوية.
مثال محلول
عند \(x = [1, 2, 3, 4, 5]\) و\(y = [2.7, 7.4, 20.1, 54.6, 148.4]\) (وهي تقريبًا \(e^{x}\))، نحصل على \(S_{xx} = 10\) و\(S_{xy} \approx 10.0115\) و\(S_{yy} \approx 10.0231\). ومن ثَمَّ \(B \approx 1.0012\) و\(A \approx 0.9956\) و\(r \approx 1.0000\). ويؤكد المنحنى المطابَق
$$y \approx 0.9956\cdot e^{1.0012x}$$أن البيانات مأخوذة من \(y = e^{x}\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون قيم Y موجبة؟ لأن الطريقة تأخذ \(\ln(y)\)، ولوغاريتم الصفر أو العدد السالب غير معرَّف، لذا تُرفَض قيم Y غير الموجبة.
ماذا يعني اقتراب r من 1؟ يعني أن النموذج الأسي يفسّر البيانات تفسيرًا ممتازًا. أما القيم القريبة من الصفر فتدل على ضعف العلاقة الأسية أو انعدامها.
هل يمكن أن تكون x سالبة؟ نعم. يمكن أن تكون x أي عدد حقيقي؛ القيد على القيم الموجبة يخص Y وحدها.
