Üstel regresyon nedir?
Üstel regresyon, eşleştirilmiş veri noktalarına \(y = A\cdot e^{Bx}\) biçiminde bir eğri uydurma yöntemidir. Mevcut büyüklüğüyle orantılı bir hızla büyüyen veya azalan nicelikleri modellemek için kullanılan standart araçtır; nüfus artışı, radyoaktif bozunma, bileşik faiz ya da bakteri kültürleri bunlara örnektir. Bu hesaplayıcı tamamen matematiksel ve istatistiksel bir araç olduğundan, ülkeye özgü hiçbir varsayım içermeden her yerde aynı şekilde geçerlidir.
Nasıl kullanılır?
Bağımsız değerlerinizi X değerleri kutusuna, bağımlı değerlerinizi ise Y değerleri kutusuna virgülle ayrılmış sayılar olarak girin. İki listenin eleman sayısı eşit olmalı, en az iki noktaya ihtiyacınız var ve her Y değeri kesinlikle pozitif olmalıdır (yöntem, y'nin doğal logaritmasını gerektirir). Gösterim hassasiyetini seçtikten sonra uydurulan \(A\) ve \(B\) katsayılarını, korelasyon katsayısı \(r\)'yi ve oluşturulan denklemi görebilirsiniz.
Formülün açıklaması
\(y = A\cdot e^{Bx}\) doğrusal olmadığından, doğal logaritma alarak onu doğrusallaştırırız: \(\ln y = \ln A + B\cdot x\). Bu, \(\ln(y)\) değerinin \(x\)'e göre sıradan bir doğrusal regresyonudur. Merkezlenmiş toplamlar $$S_{xx} = \sum (x - \bar{x})^2,\quad S_{yy} = \sum (\ln y - \overline{\ln y})^2,\quad S_{xy} = \sum (x - \bar{x})(\ln y - \overline{\ln y})$$ kullanılarak eğim $$B = \frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad A = \exp\!\left(\overline{\ln y} - B\,\bar{x}\right)$$ olarak bulunur. Korelasyon $$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}}}$$ değeri \(-1\) ile \(1\) arasındadır; mutlak değeri \(0{,}7\)'nin üzerinde olan değerler güçlü bir uyuma işaret eder.
Çözümlü örnek
\(x = [1, 2, 3, 4, 5]\) ve \(y = [2.7, 7.4, 20.1, 54.6, 148.4]\) (yaklaşık \(e^{x}\)) için \(S_{xx} = 10\), \(S_{xy} \approx 10{,}0115\), \(S_{yy} \approx 10{,}0231\) elde ederiz. Buradan \(B \approx 1{,}0012\), \(A \approx 0{,}9956\) ve \(r \approx 1{,}0000\) bulunur. Uydurulan eğri $$y \approx 0{,}9956\cdot e^{1{,}0012x},$$ verilerin \(y = e^{x}\) fonksiyonundan geldiğini doğrular.
Sıkça sorulan sorular
Y neden pozitif olmak zorunda? Yöntem \(\ln(y)\) hesaplar; sıfırın veya negatif bir sayının logaritması tanımsız olduğundan, pozitif olmayan Y değerleri kabul edilmez.
r değerinin 1'e yakın olması ne anlama gelir? Üstel modelin verileri çok iyi açıkladığını gösterir. 0'a yakın değerler ise neredeyse hiç üstel ilişki bulunmadığı anlamına gelir.
x negatif olabilir mi? Evet. X herhangi bir gerçek sayı olabilir; yalnızca Y pozitif değerlerle sınırlıdır.
