Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, bir frekans dağılım tablosundaki veri noktalarına \(y = A\cdot B^{x}\) biçimindeki bir ab-üstel trend çizgisi uydurur. Her satır bir x değeri, bir y değeri ve bir f frekansı içerir (yani (x, y) çiftinin kaç kez tekrarlandığını ya da ağırlığını gösterir). Bu, tamamen istatistiksel bir yöntemdir ve her yerde aynı şekilde geçerlidir — herhangi bir birime veya ülkeye bağlı değildir.
Nasıl kullanılır?
Her satıra bir veri noktasını x, y, f biçiminde girin. y değeri kesinlikle pozitif olmalıdır; çünkü yöntem y'nin doğal logaritmasını alır. Sıradan, ağırlıksız bir uyum istiyorsanız tüm frekansları 1 olarak ayarlayın (üçüncü sayıyı yazmazsanız da f = 1 varsayılır). Görüntülenecek katsayılar için anlamlı basamak sayısını seçin, ardından A, B ve korelasyon katsayısı r değerlerini okuyun.
Formülün açıklaması
İşin püf noktası modeli doğrusallaştırmaktır: \(y = A\cdot B^{x}\) ifadesinin logaritması alındığında \(\ln y = \ln A + x\cdot\ln B\) elde edilir; bu da (x, ln y) düzleminde bir doğrudur. Burada ln y'yi x'e göre frekans ağırlıklı bir en küçük kareler regresyonu ile uyduruyoruz. \(n = \sum f\), ağırlıklı ortalamalar \(\bar{x}\) ve \(\overline{\ln y}\), ağırlıklı toplamlar \(S_{xx}\), \(S_{yy}\), \(S_{xy}\) olmak üzere eğim \(S_{xy}/S_{xx}\), kesim noktası ise \(\overline{\ln y} - \bar{x}\cdot\text{eğim}\) olarak hesaplanır. Üs alındığında \(B = e^{\text{eğim}}\) ve \(A = e^{\text{kesim}}\) bulunur. Korelasyon katsayısı $$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}}}$$ log-doğrusal modelin verilere ne kadar iyi uyduğunu ölçer.
Çözümlü örnek
Tam olarak iki katına çıkan (1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16) verilerini ele alalım; hepsinin frekansı \(f = 1\) olsun: \(n = 4\), \(\bar{x} = 2{,}5\), \(\overline{\ln y} = 1{,}732868\), \(S_{xx} = 5\), \(S_{xy} = 3{,}465735\), \(S_{yy} = 2{,}402224\). Buradan \(B = e^{3{,}465735/5} = e^{0{,}693147} = 2\), \(A = e^{0} = 1\) ve \(r = 1\) elde edilir. Yani uydurulan eğri tam beklendiği gibi \(y = 1\cdot 2^{x}\) olur.
Sıkça sorulan sorular
Frekans sütunu ne işe yarar? Her veri noktasını kaç kez tekrarlandığına göre ağırlıklandırır; örneğin \(f = 5\) olan bir satır, beş özdeş satıra eşdeğer sayılır. Sıradan bir regresyon için her satırda \(f = 1\) kullanın.
r değerini nasıl yorumlamalıyım? \(|r| > 0{,}7\) güçlü bir ilişkiyi, 0,4–0,7 orta düzeyde, 0,2–0,4 zayıf ve 0,2'nin altı ise neredeyse hiç ilişki olmadığını gösterir. r değeri (x, ln y) düzleminde hesaplanır.
y neden pozitif olmalı? Model, y'nin doğal logaritmasını alır; \(\ln y\), \(y \le 0\) için tanımsızdır. Bu nedenle pozitif olmayan satırlar hesaba katılmaz.
