حاسبة الانحدار الأسي ab الموزون بالتكرار (y = A·B^x)

أدخل الحساب

Data points (one per line: x، y، f) 1, 2, 1 2, 4, 1 3, 8, 1 4, 16, 1 Each line is one row: the x value, the y value (must be > 0), and the frequency f (count/weight). For a plain unweighted fit set every f = 1.

عدد الأرقام المعنوية (دقة الناتج) 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

نتائج

خط الاتجاه الأسي ab المطابِق

y = 1.000000000 · 2.000000000^x

y = A · B^x

المعامل A	١
الأساس B	٢
معامل الارتباط r	١
Effective sample size n (Σ f)	٤

ماذا تفعل هذه الحاسبة

تقوم هذه الأداة بمطابقة خط اتجاه أسي من نوع ab على الصورة \(y = A\cdot B^{x}\) لجدول توزيع تكراري من نقاط البيانات. يحمل كل سطر قيمة x وقيمة y والتكرار f (عدد مرات ظهور الزوج (x، y) أو وزنه). إنها طريقة إحصائية بحتة تُطبَّق بالشكل نفسه في كل مكان — لا وحدات قياس ولا ارتباط بنظام دولة معينة.

طريقة الاستخدام

أدخِل نقطة بيانات واحدة في كل سطر بالصيغة x، y، f. يجب أن تكون قيمة y موجبة تمامًا لأن الطريقة تأخذ اللوغاريتم الطبيعي لـ y. وإذا أردت مطابقة عادية غير موزونة، اضبط كل تكرار على 1 (يمكنك أيضًا حذف الرقم الثالث، وعندها يُفترض أن f = 1). اختر عدد الأرقام المعنوية للمعاملات المعروضة، ثم اقرأ قيم A وB ومعامل الارتباط r.

شرح المعادلة

تكمن الحيلة في تحويل النموذج إلى علاقة خطية: بأخذ اللوغاريتم لطرفي \(y = A\cdot B^{x}\) نحصل على \(\ln y = \ln A + x\cdot\ln B\)، وهو خط مستقيم في فضاء (x، ln y). نُجري بعد ذلك انحدارًا بطريقة المربعات الصغرى الموزونة بالتكرار لـ ln y على x. وبوجود \(n = \sum f\)، والمتوسطين الموزونين \(\bar{x}\) و\(\overline{\ln y}\)، والمجاميع الموزونة \(S_{xx}\) و\(S_{yy}\) و\(S_{xy}\)، يكون الميل مساويًا لـ \(S_{xy}/S_{xx}\) ويكون التقاطع مساويًا لـ \(\overline{\ln y} - \bar{x}\cdot\text{الميل}\). وبأخذ الدالة الأسية نحصل على \(B = e^{\text{الميل}}\) و\(A = e^{\text{التقاطع}}\). أما معامل الارتباط \(r = S_{xy} / (\sqrt{S_{xx}} \cdot \sqrt{S_{yy}})\) فيقيس مدى جودة مطابقة النموذج الخطي اللوغاريتمي.

اعلان

أخذ ln y يجعل y = A·B^x خطيًا فتنطبق طريقة المربعات الصغرى المرجّحة.

ملاءمة أسية مرجّحة y = A·B^x: النقاط الأكبر تحمل وزن تردد أكبر في المنحنى.

مثال محلول

لبيانات تتضاعف تمامًا (1، 2)، (2، 4)، (3، 8)، (4، 16) جميعها بتكرار f = 1: نجد \(n = 4\)، و\(\bar{x} = 2.5\)، و\(\overline{\ln y} = 1.732868\)، و\(S_{xx} = 5\)، و\(S_{xy} = 3.465735\)، و\(S_{yy} = 2.402224\). ومنها $$B = e^{3.465735/5} = e^{0.693147} = 2,\qquad A = e^{0} = 1,\qquad r = 1.$$ وبذلك يكون المنحنى المطابِق هو \(y = 1\cdot 2^{x}\)، تمامًا كما هو متوقع.

الأسئلة الشائعة

ما وظيفة عمود التكرار؟ يعطي وزنًا لكل نقطة بيانات بحسب عدد مرات ظهورها، فالسطر الذي تكراره f = 5 يُحسب كأنه خمسة أسطر متطابقة. استخدم f = 1 في كل الأسطر للحصول على انحدار عادي.

كيف أقرأ قيمة r؟ القيمة |r| > 0.7 تدل على ارتباط قوي، و0.4–0.7 على ارتباط متوسط، و0.2–0.4 على ارتباط ضعيف، وأقل من 0.2 على انعدام الارتباط تقريبًا. ويُحسب r في فضاء (x، ln y).

لماذا يجب أن تكون y موجبة؟ لأن النموذج يأخذ اللوغاريتم الطبيعي لـ y، وقيمة ln y غير معرَّفة عندما تكون y ≤ 0، لذا تُتجاهَل الأسطر ذات القيم غير الموجبة.