ماذا تفعل هذه الحاسبة
تقوم هذه الأداة بمطابقة خط اتجاه يتبع قانون القوة على الصيغة \(y = A\cdot x^{B}\) مع مجموعة من نقاط البيانات، حيث يمكن أن تحمل كل نقطة (x, y) تكرارًا أو وزنًا f. وهي عملية انحدار بطريقة المربعات الصغرى المرجّحة بالتكرار تُجرى في فضاء اللوغاريتم الطبيعي، الأمر الذي يحوّل منحنى القوة إلى خط مستقيم على الصورة \(\ln y = \ln A + B\cdot\ln x\). هذه الطريقة رياضية وإحصائية بحتة، لذا فهي صالحة للاستخدام في كل مكان دون أي قواعد محلية خاصة.
طريقة الاستخدام
أدخل قيم x وقيم y والتكرارات على هيئة ثلاث قوائم مفصولة بفواصل ومتساوية في الطول. يجب أن تكون كل قيمة من x وy موجبة تمامًا (إذ لا يُعرَّف اللوغاريتم للأصفار أو الأعداد السالبة)، وأن يكون كل تكرار صفرًا أو أكبر منه. اختر عدد الأرقام المعنوية المطلوبة في عرض النتائج، ثم اقرأ المعامل المطابَق \(A\) والأُس \(B\) ومعامل ارتباط بيرسون \(r\).
شرح المعادلة
لكل صف، ضع \(X = \ln x\) و\(Y = \ln y\). وبفرض أن الوزن الإجمالي \(n = \sum f\)، تكون المتوسطات المرجّحة كالتالي:
$$\overline{\ln x} = \frac{\sum \text{f}\cdot\ln x}{n} \qquad \overline{\ln y} = \frac{\sum \text{f}\cdot\ln y}{n}$$أما مجاميع المربعات المرجّحة فهي
$$S_{xx} = \sum \text{f}(\ln x)^2 - n\cdot\overline{\ln x}^{\,2} \qquad S_{yy} = \sum \text{f}(\ln y)^2 - n\cdot\overline{\ln y}^{\,2}$$$$S_{xy} = \sum \text{f}(\ln x)(\ln y) - n\cdot\overline{\ln x}\cdot\overline{\ln y}$$ومن ثَمّ
$$B = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \qquad A = \exp\!\left(\overline{\ln y} - B\cdot\overline{\ln x}\right) \qquad r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}}}$$وعمليًا تُحسب كل نقطة كما لو أنها مكررة \(f\) مرة.
مثال محلول
لنأخذ \(x = [1, 2, 3, 4, 5]\) و\(y = [1, 4, 9, 16, 25]\) (أي \(y = x^2\) تمامًا) مع جعل جميع التكرارات تساوي 1. يعطي الحساب \(S_{xx} \approx 1.615494\) و\(S_{xy} \approx 3.230987\) و\(S_{yy} \approx 6.461972\)، ومن ثَمّ
$$B = \frac{3.230987}{1.615494} = 2 \qquad A = \exp(0) = 1 \qquad r = 1$$وتكون النتيجة \(y = 1\cdot x^2\)، وهي مطابقة تامة كما هو متوقع.
الأسئلة الشائعة
ماذا يعني معامل الارتباط؟ اقتراب \(|r|\) من 1 يدل على علاقة قوية تتبع قانون القوة؛ والمدى 0.4–0.7 يدل على علاقة متوسطة، و0.2–0.4 ضعيفة، وما دون 0.2 يعني انعدامها عمليًا.
لماذا يجب أن تكون x وy موجبة؟ لأن المطابقة تعتمد على اللوغاريتمات الطبيعية التي لا تُعرَّف إلا للأعداد الموجبة، لذلك تُتجاهَل النقاط غير الموجبة.
ماذا لو كانت جميع قيم x متساوية؟ عندئذٍ يكون \(S_{xx} = 0\) ويتعذّر تحديد الأُس \(B\)، فتُظهر الحاسبة رسالة خطأ.
