Qué hace esta calculadora
Esta herramienta ajusta una línea de tendencia potencial de la forma \(y = A\cdot x^{B}\) a un conjunto de puntos de datos, donde cada punto (x, y) puede llevar asociada una frecuencia o peso f. Se trata de una regresión por mínimos cuadrados ponderada por frecuencia que se calcula en escala logarítmica natural, lo que convierte la curva potencial en una recta: \(\ln y = \ln A + B\cdot\ln x\). El método es puramente matemático y estadístico, así que es válido en cualquier lugar y no depende de normativas regionales.
Cómo utilizarla
Introduce los valores de x, los valores de y y las frecuencias como tres listas separadas por comas y de la misma longitud. Cada x y cada y deben ser estrictamente positivos (el logaritmo no está definido para cero ni para números negativos) y cada frecuencia debe ser igual o mayor que cero. Elige el número de cifras significativas para el resultado mostrado y consulta el coeficiente ajustado A, el exponente B y el coeficiente de correlación de Pearson r.
La fórmula explicada
Para cada fila, definimos \(X = \ln x\) e \(Y = \ln y\). Con el peso total \(n = \sum f\), las medias ponderadas son $$\overline{\ln x} = \frac{\sum f\cdot\ln x}{n} \qquad \overline{\ln y} = \frac{\sum f\cdot\ln y}{n}$$ Las sumas de cuadrados ponderadas son $$S_{xx} = \sum f(\ln x)^2 - n\cdot\overline{\ln x}^{\,2}, \quad S_{yy} = \sum f(\ln y)^2 - n\cdot\overline{\ln y}^{\,2}, \quad S_{xy} = \sum f(\ln x)(\ln y) - n\cdot\overline{\ln x}\,\overline{\ln y}$$ A partir de ahí, $$B = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad A = \exp\!\left(\overline{\ln y} - B\cdot\overline{\ln x}\right), \qquad r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}}}$$ Cada punto cuenta, en la práctica, como si se repitiera f veces.
Ejemplo resuelto
Tomemos x = [1, 2, 3, 4, 5] e y = [1, 4, 9, 16, 25] (exactamente \(y = x^2\)), con todas las frecuencias iguales a 1. El cálculo da \(S_{xx} \approx 1{,}615494\), \(S_{xy} \approx 3{,}230987\) y \(S_{yy} \approx 6{,}461972\), de modo que $$B = \frac{3{,}230987}{1{,}615494} = 2, \qquad A = \exp(0) = 1, \qquad r = 1$$ El resultado \(y = 1\cdot x^2\) es un ajuste perfecto, tal como cabía esperar.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa el coeficiente de correlación? Un valor de \(|r|\) próximo a 1 indica una relación potencial fuerte; entre 0,4 y 0,7 es moderada, entre 0,2 y 0,4 es débil y por debajo de 0,2 es prácticamente inexistente.
¿Por qué x e y deben ser positivos? El ajuste emplea logaritmos naturales, que solo están definidos para números positivos, por lo que los puntos no positivos se descartan.
¿Qué ocurre si todos los valores de x son iguales? En ese caso \(S_{xx} = 0\) y no es posible determinar el exponente B, así que la calculadora muestra un error.
