Qué hace esta calculadora
Esta herramienta ajusta una curva de tendencia exponencial de la forma \(y = A\cdot e^{Bx}\) a un conjunto de datos ponderado por frecuencia. Cada fila de datos es una terna (x, y, f), donde f es la frecuencia o el peso — el número de veces que aparece esa observación. Devuelve los coeficientes ajustados A y B, además del coeficiente de correlación r del ajuste lineal subyacente. Se trata de matemáticas puras, así que funciona exactamente igual en cualquier lugar, sin reglas que dependan del país.
Cómo usarla
Introduce un punto por línea con el formato x, y, f. El valor de y debe ser mayor que 0, ya que el modelo se linealiza tomando su logaritmo natural. Si omites la tercera columna, la frecuencia toma el valor 1 por defecto. Elige cuántas cifras significativas quieres mostrar y consulta los valores de A, B, r y la ecuación ajustada con los datos sustituidos.
La fórmula explicada
Dado que ln y = ln A + B·x, ajustar la exponencial se reduce a una regresión lineal ponderada de ln y sobre x. Usando sumas ponderadas en las que cada término se multiplica por la frecuencia f, se define \(n = \sum f\), las medias ponderadas \(\bar{x}\) y \(\bar{L}\) (media de ln y), y las sumas ponderadas de cuadrados \(S_{xx}\), \(S_{yy}\) y el producto cruzado \(S_{xy}\). Entonces $$y = A \cdot e^{B x}$$ $$\text{donde}\quad \left\{ \begin{aligned} B &= \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \\ A &= e^{\,\bar{L} - B\bar{x}} \\ S_{xx} &= \textstyle\sum f x^{2} - n\bar{x}^{2} \\ S_{xy} &= \textstyle\sum f x \ln y - n\bar{x}\bar{L} \\ n &= \textstyle\sum f,\quad \bar{x}=\tfrac{\sum f x}{n},\quad \bar{L}=\tfrac{\sum f \ln y}{n} \end{aligned} \right.$$ y \(r = S_{xy} / (\sqrt{S_{xx}} \cdot \sqrt{S_{yy}})\). Un valor de r cercano a \(\pm 1\) indica un ajuste muy bueno.
Ejemplo resuelto
Tomemos los puntos (1, 2.7), (2, 7.4), (3, 20.1) y (4, 54.6), cada uno con frecuencia 1, que se aproximan a \(y = e^{x}\). Aquí \(\bar{x} = 2.5\), \(\bar{L} \approx 2.49887\), \(S_{xx} = 5\), \(S_{xy} \approx 5.0098\) y \(S_{yy} \approx 5.0196\). Así, $$B \approx 1.0020,\quad A = e^{\,2.49887 - 2.5048} \approx 0.9940,\quad r \approx 0.9998.$$ La ecuación ajustada es aproximadamente \(y = 0.9940\cdot e^{1.0020\,x}\) — es decir, prácticamente \(y = e^{x}\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué y debe ser positivo? El ajuste utiliza ln(y); el logaritmo de cero o de un número negativo no está definido, por lo que esas filas se descartan.
¿Qué representa la frecuencia f? Indica con qué fuerza influye cada punto en el ajuste — resulta útil en tablas de distribución de frecuencias donde muchas observaciones comparten el mismo par (x, y).
¿Cómo se interpreta r? Un |r| por encima de 0.7 indica correlación fuerte, entre 0.4 y 0.7 moderada, entre 0.2 y 0.4 débil, y por debajo de 0.2 prácticamente inexistente.
