이 계산기의 기능
이 도구는 빈도 가중 데이터에 \(y = A\cdot e^{Bx}\) 형태의 지수 추세 곡선을 적합시킵니다. 각 데이터 행은 (x, y, f)의 세 값으로 이루어지며, 여기서 f는 해당 관측값이 등장한 횟수, 즉 빈도(가중치)를 뜻합니다. 계산 결과로 적합된 계수 A와 B, 그리고 기반이 되는 선형 적합의 상관계수 r을 함께 제공합니다. 이는 순수한 수학 계산이므로 국가나 지역에 관계없이 동일하게 적용되며, 특정 지역의 규칙이 개입하지 않습니다.
사용 방법
한 줄에 한 점씩 x, y, f 형식으로 입력하세요. 모델은 자연로그를 취해 선형화하므로 y 값은 반드시 0보다 커야 합니다. 세 번째 열을 생략하면 빈도는 기본값 1로 처리됩니다. 표시할 유효숫자 자리수를 선택한 뒤 A, B, r 값과 대입이 완료된 적합 방정식을 확인하면 됩니다.
공식 풀이
\(\ln y = \ln A + B\cdot x\)가 성립하므로, 지수 곡선의 적합은 결국 x에 대한 \(\ln y\)의 가중 선형 회귀로 단순화됩니다. 모든 항에 빈도 f를 곱하는 가중합을 사용하여 \(n = \sum f\), 가중 평균 \(\bar{x}\)와 \(\bar{L}\)(ln y의 평균), 그리고 가중 제곱합 \(S_{xx}\), \(S_{yy}\)와 교차곱 \(S_{xy}\)를 정의합니다. 그러면 다음과 같이 됩니다.
또한 \(r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}} \cdot \sqrt{S_{yy}}}\)가 됩니다. r이 \(\pm 1\)에 가까울수록 적합도가 높다는 의미입니다.
계산 예시
각각 빈도 1을 가지는 점 (1, 2.7), (2, 7.4), (3, 20.1), (4, 54.6)을 살펴봅시다. 이 점들은 \(y = e^{x}\)에 매우 가깝습니다. 여기서 \(\bar{x} = 2.5\), \(\bar{L} \approx 2.49887\), \(S_{xx} = 5\), \(S_{xy} \approx 5.0098\), \(S_{yy} \approx 5.0196\)입니다. 따라서 \(B \approx 1.0020\), \(A = e^{(2.49887 - 2.5048)} \approx 0.9940\), \(r \approx 0.9998\)이 됩니다. 적합 방정식은 대략 $$y = 0.9940\cdot e^{(1.0020\cdot x)}$$로, 사실상 \(y = e^{x}\)와 같습니다.
자주 묻는 질문
왜 y가 반드시 양수여야 하나요? 적합 과정에서 \(\ln(y)\)를 사용하는데, 0이나 음수의 로그는 정의되지 않기 때문입니다. 따라서 그런 행은 계산에서 제외됩니다.
빈도 f는 무엇을 의미하나요? 각 점이 적합에 미치는 영향력의 크기를 나타내는 가중치입니다. 동일한 (x, y) 관측값이 여러 번 등장하는 도수분포표를 다룰 때 특히 유용합니다.
r 값은 어떻게 해석하나요? \(|r|\)이 0.7 이상이면 강한 상관관계, 0.4–0.7이면 보통, 0.2–0.4이면 약함, 0.2 미만이면 사실상 상관관계가 없다고 봅니다.
