빈도 가중 거듭제곱 회귀 계산기 (y = A·x^B)

계산 입력

결과

추세선 방정식

y = 1.961115 · x^1.896105

빈도 가중 거듭제곱 적합

A (계수)	1.961115201
B (지수)	1.896104801
상관계수 r	0.9997770766

이 계산기의 기능

이 도구는 데이터 점들의 집합에 $y = A\cdot x^{B}$ 형태의 거듭제곱 추세선을 적합합니다. 이때 각 점 (x, y)는 빈도(frequency) 또는 가중치 f를 가질 수 있습니다. 이는 자연로그 공간에서 수행되는 빈도 가중 최소제곱 회귀로, 거듭제곱 곡선을 $\ln y = \ln A + B\cdot\ln x$ 라는 직선으로 바꿔 줍니다. 이 방법은 순수한 수학·통계 기법이므로 지역별 규정과 무관하게 어디서나 동일하게 적용됩니다.

Power curve y equals A times x to the B fitted through scattered data points with varying dot sizes — A power-law curve y = A·x^B fitted to weighted data points, where larger dots carry more frequency weight.

사용 방법

x 값, y 값, 빈도를 길이가 같은 세 개의 쉼표 구분 목록으로 입력하세요. 모든 x와 y는 반드시 양수여야 하며(0이나 음수에서는 로그가 정의되지 않습니다), 모든 빈도는 0 이상이어야 합니다. 표시할 결과의 유효 숫자 자릿수를 선택한 다음, 적합된 계수 A, 지수 B, 그리고 피어슨 상관계수 $r$을 확인하면 됩니다.

공식 설명

각 행에 대해 $X = \ln x$, $Y = \ln y$로 둡니다. 전체 가중치를 $n = \sum f$라 하면, 가중 평균은 다음과 같습니다.

$$\overline{\ln x} = \frac{\sum f\cdot\ln x}{n}, \quad \overline{\ln y} = \frac{\sum f\cdot\ln y}{n}$$

가중 제곱합은 다음과 같이 계산됩니다.

$$S_{xx} = \sum f(\ln x)^2 - n\cdot\overline{\ln x}^{\,2}$$$$S_{yy} = \sum f(\ln y)^2 - n\cdot\overline{\ln y}^{\,2}$$$$S_{xy} = \sum f(\ln x)(\ln y) - n\cdot\overline{\ln x}\cdot\overline{\ln y}$$

그러면 다음과 같이 됩니다.

$$B = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \quad A = \exp\!\left(\overline{\ln y} - B\cdot\overline{\ln x}\right), \quad r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}}}$$

각 점은 사실상 f번 반복된 것처럼 계산에 반영됩니다.

Same data transformed into log-log space showing points falling along a straight line — In log-log space the power law becomes a straight line: ln y = ln A + B·ln x, so the fit reduces to weighted linear regression.

계산 예시

$x = [1, 2, 3, 4, 5]$, $y = [1, 4, 9, 16, 25]$(정확히 $y = x^2$)를 모든 빈도 1로 두고 계산해 봅시다. 결과는 $S_{xx} \approx 1.615494$, $S_{xy} \approx 3.230987$, $S_{yy} \approx 6.461972$ 이므로 다음과 같습니다.

$$B = \frac{3.230987}{1.615494} = 2, \quad A = \exp(0) = 1, \quad r = 1$$

즉 $y = 1\cdot x^2$ 으로 예상대로 완벽하게 적합됩니다.