À quoi sert ce calculateur
Cet outil ajuste une courbe de tendance en loi de puissance de la forme \(y = A\cdot x^{B}\) à un ensemble de points de données, où chaque point (x, y) peut porter une fréquence ou un poids f. Il s'agit d'une régression par moindres carrés pondérée par les fréquences, réalisée dans l'espace du logarithme naturel : cette transformation change la courbe de puissance en une droite \(\ln y = \ln A + B\cdot\ln x\). La méthode relève purement des mathématiques et des statistiques, elle s'applique donc partout, sans aucune règle régionale.
Comment l'utiliser
Saisissez les valeurs de x, les valeurs de y et les fréquences sous forme de trois listes de même longueur, séparées par des virgules. Chaque valeur de x et de y doit être strictement positive (le logarithme n'est pas défini pour zéro ni pour les nombres négatifs) et chaque fréquence doit être supérieure ou égale à zéro. Choisissez le nombre de chiffres significatifs pour l'affichage du résultat, puis lisez le coefficient ajusté A, l'exposant B et le coefficient de corrélation de Pearson r.
La formule expliquée
Pour chaque ligne, posons \(X = \ln x\) et \(Y = \ln y\). Avec le poids total \(n = \sum f\), les moyennes pondérées s'écrivent $$\overline{\ln x} = \frac{\sum f\cdot\ln x}{n} \qquad \overline{\ln y} = \frac{\sum f\cdot\ln y}{n}$$ Les sommes pondérées des carrés sont $$S_{xx} = \sum f(\ln x)^2 - n\cdot\overline{\ln x}^{\,2}, \quad S_{yy} = \sum f(\ln y)^2 - n\cdot\overline{\ln y}^{\,2}, \quad S_{xy} = \sum f(\ln x)(\ln y) - n\cdot\overline{\ln x}\cdot\overline{\ln y}$$ On obtient alors $$B = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad A = \exp\!\left(\overline{\ln y} - B\cdot\overline{\ln x}\right), \qquad r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}}}$$ En pratique, chaque point compte comme s'il était répété f fois.
Exemple résolu
Prenons x = [1, 2, 3, 4, 5] et y = [1, 4, 9, 16, 25] (soit exactement \(y = x^2\)) avec toutes les fréquences égales à 1. Le calcul donne \(S_{xx} \approx 1{,}615494\), \(S_{xy} \approx 3{,}230987\) et \(S_{yy} \approx 6{,}461972\), d'où $$B = \frac{3{,}230987}{1{,}615494} = 2, \qquad A = \exp(0) = 1, \qquad r = 1$$ Le résultat \(y = 1\cdot x^2\) correspond à un ajustement parfait, comme on pouvait s'y attendre.
FAQ
Que signifie le coefficient de corrélation ? Une valeur de \(|r|\) proche de 1 traduit une relation de puissance forte ; de 0,4 à 0,7 elle est modérée, de 0,2 à 0,4 elle est faible, et en dessous de 0,2 elle est quasi inexistante.
Pourquoi x et y doivent-ils être positifs ? L'ajustement repose sur les logarithmes naturels, qui ne sont définis que pour les nombres positifs ; les points non positifs sont donc ignorés.
Que se passe-t-il si toutes les valeurs de x sont identiques ? Dans ce cas \(S_{xx} = 0\) et l'exposant B ne peut pas être déterminé : le calculateur signale alors une erreur.
