Ce que fait ce calculateur
Cet outil ajuste une droite \(y = A + Bx\) à un ensemble de points de données par la méthode des moindres carrés, chaque point pouvant porter une fréquence ou un poids f. La pondération par les fréquences permet de résumer des observations répétées de façon compacte : plutôt que de répéter plusieurs fois le même couple (x, y), vous l'indiquez une seule fois accompagné de son effectif. Il s'agit d'un outil de statistiques purement mathématique et universel, qui fonctionne de la même manière partout.
Comment l'utiliser
Saisissez une ligne par point sous la forme x, y, f. La colonne des fréquences est facultative : si vous l'omettez, chaque point reçoit le même poids (régression ordinaire non pondérée). Choisissez le nombre de chiffres significatifs souhaité pour l'affichage des résultats, puis validez. Le calculateur renvoie la droite de régression, la pente B et l'ordonnée à l'origine A, le coefficient de corrélation r de Pearson, la fréquence totale n, les moyennes de x et de y, ainsi que les sommes intermédiaires Sxx, Syy et Sxy.
La formule expliquée
Notons les lignes \(i = 1..N\) avec les valeurs \(x_i\), \(y_i\) et la fréquence \(f_i\). La fréquence totale est \(n = \sum f_i\). Les moyennes pondérées valent \(\bar{x} = \sum x_i f_i / n\) et \(\bar{y} = \sum y_i f_i / n\). Les sommes des carrés s'écrivent
$$S_{xx} = \sum x_i^2 f_i - n\cdot\bar{x}^2, \quad S_{yy} = \sum y_i^2 f_i - n\cdot\bar{y}^2, \quad S_{xy} = \sum x_i y_i f_i - n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}.$$La pente est \(B = S_{xy}/S_{xx}\), l'ordonnée à l'origine \(A = \bar{y} - B\cdot\bar{x}\) et la corrélation \(r = S_{xy}/(\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}})\).
Exemple résolu
Pour les lignes (1,2,1), (2,3,2), (3,5,1), (4,4,2), (5,6,1), (6,7,1) : \(n = 8\), \(\bar{x} = 3{,}375\), \(\bar{y} = 4{,}25\). On obtient alors \(S_{xx} = 19{,}875\), \(S_{yy} = 19{,}5\) et \(S_{xy} = 18{,}25\). D'où
$$B = \frac{18{,}25}{19{,}875} \approx 0{,}9182, \quad A = 4{,}25 - 0{,}9182\cdot 3{,}375 \approx 1{,}1509, \quad r \approx 0{,}9271$$— une forte corrélation positive. La droite ajustée est
$$y = 1{,}1509 + 0{,}9182\cdot x.$$FAQ
À quoi sert la colonne des fréquences ? Elle pondère chaque point. Un point avec \(f = 3\) compte comme si vous l'aviez observé trois fois. Les poids fractionnaires sont autorisés.
Que se passe-t-il si r ne peut pas être calculé ? Si toutes les valeurs de x sont identiques (\(S_{xx} = 0\)), la pente est indéfinie ; et si \(S_{xx}\) ou \(S_{yy}\) vaut zéro, la corrélation est indéfinie faute de variabilité.
Comment juge-t-on la force de la corrélation ? À l'aide de \(|r|\) : au-delà de 0,7 elle est forte, entre 0,4 et 0,7 modérée, entre 0,2 et 0,4 faible, et en dessous de 0,2 il n'y a pratiquement aucune corrélation.
