ماذا تفعل هذه الحاسبة
تقوم هذه الأداة بمطابقة خط مستقيم على الصورة \(y = A + Bx\) لمجموعة من نقاط البيانات باستخدام طريقة المربعات الصغرى، حيث قد تحمل كل نقطة تكرارًا أو وزنًا \(f\). يتيح لك الترجيح بالتكرار تلخيص الملاحظات المتكررة بشكل مختصر: فبدلًا من إدراج الزوج نفسه (x, y) مرات عديدة، تدخله مرة واحدة مع عدد تكراره. وهي أداة إحصائية رياضية بحتة وعالمية تعمل بالطريقة نفسها في كل مكان.
كيفية الاستخدام
أدخل صفًا واحدًا في كل سطر بالصيغة x, y, f. عمود التكرار اختياري؛ فإذا تركته فارغًا، تُعطى كل نقطة الوزن نفسه (انحدار عادي غير موزون). اختر عدد الأرقام المعنوية التي ترغب بظهورها في النتائج، ثم اضغط للحساب. تُرجع لك الحاسبة معادلة خط الانحدار، والميل \(B\) والمقطع \(A\)، ومعامل ارتباط بيرسون \(r\)، والتكرار الكلي \(n\)، ومتوسطي \(x\) وy، والمجاميع المساعدة \(S_{xx}\) وSyy وSxy.
شرح المعادلة
لتكن الصفوف \(i = 1..N\) بقيم \(x_i\) وyi وتكرار \(f_i\). التكرار الكلي هو \(n = \sum f_i\). والمتوسطان الموزونان هما $$\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{n}, \quad \bar{y} = \frac{\sum y_i f_i}{n}.$$ أما مجاميع المربعات فهي $$S_{xx} = \sum x_i^2 f_i - n\cdot\bar{x}^2, \quad S_{yy} = \sum y_i^2 f_i - n\cdot\bar{y}^2, \quad S_{xy} = \sum x_i y_i f_i - n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}.$$ ويكون الميل \(B = S_{xy}/S_{xx}\)، والمقطع \(A = \bar{y} - B\cdot\bar{x}\)، والارتباط $$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}}}.$$
مثال محلول
للصفوف (1,2,1)، (2,3,2)، (3,5,1)، (4,4,2)، (5,6,1)، (6,7,1): يكون \(n = 8\)، وx̄ = 3.375، وȳ = 4.25. ومنها \(S_{xx} = 19.875\)، وSyy = 19.5، وSxy = 18.25. ومن ثم $$B = \frac{18.25}{19.875} \approx 0.9182,$$ $$A = 4.25 - 0.9182\cdot 3.375 \approx 1.1509,$$ و\(r \approx 0.9271\) — وهو ارتباط موجب قوي. ويكون الخط المطابق هو $$y = 1.1509 + 0.9182\cdot x.$$
الأسئلة الشائعة
ما وظيفة عمود التكرار؟ إنه يُرجّح كل نقطة. فالنقطة ذات التكرار \(f = 3\) تُحتسب كأنك رصدتها ثلاث مرات. ويُسمح بالأوزان الكسرية.
ماذا لو تعذّر حساب r؟ إذا كانت جميع قيم \(x\) متساوية (\(S_{xx} = 0\)) فإن الميل غير معرّف، وإذا كان أيٌّ من \(S_{xx}\) أو \(S_{yy}\) يساوي صفرًا فإن الارتباط غير معرّف لانعدام التغايُر.
كيف تُقيَّم قوة الارتباط؟ باستخدام \(|r|\): أكبر من 0.7 قوي، ومن 0.4 إلى 0.7 متوسط، ومن 0.2 إلى 0.4 ضعيف، وأقل من 0.2 يعني عدم وجود ارتباط فعليًا.
