ماذا تفعل هذه الحاسبة
تقوم هذه الأداة بملاءمة منحنى اتجاه أسي على الصورة \(y = A \cdot e^{Bx}\) لمجموعة بيانات موزونة بالتكرار. كل صف من البيانات هو ثلاثية (x, y, f)، حيث يمثل f التكرار أو الوزن — أي عدد مرات ظهور هذه الملاحظة. تُرجع الأداة المعاملين المُلائَمين A وB إضافةً إلى معامل الارتباط r الخاص بالانحدار الخطي الكامن وراءها. هذه عملية رياضية بحتة تنطبق بالطريقة نفسها في أي مكان، دون أي قواعد خاصة بمنطقة أو دولة معينة.
كيفية الاستخدام
أدخل نقطة واحدة في كل سطر بالصيغة x، y، f. يجب أن تكون قيمة y أكبر من 0، لأن النموذج يُحوَّل إلى صورة خطية بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لها. إذا حذفت العمود الثالث، تأخذ قيمة التكرار افتراضيًا 1. اختر عدد الأرقام المعنوية التي تريد عرضها، ثم اقرأ قيم A وB وr والمعادلة المُلائَمة بعد التعويض.
شرح المعادلة
بما أن ln y = ln A + B·x، فإن ملاءمة الدالة الأسية تتحول إلى انحدار خطي موزون لقيمة ln y على x. باستخدام المجاميع الموزونة التي يُضرب فيها كل حد بالتكرار f، نُعرّف \(n = \sum f\)، والمتوسطين الموزونين \(\bar{x}\) و\(\bar{L}\) (متوسط \(\ln y\))، والمجاميع الموزونة للمربعات \(S_{xx}\) و\(S_{yy}\) والجداء التقاطعي \(S_{xy}\). عندئذٍ $$y = A \cdot e^{B x} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} B &= \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \\ A &= e^{\,\bar{L} - B\bar{x}} \\ S_{xx} &= \textstyle\sum f x^{2} - n\bar{x}^{2} \\ S_{xy} &= \textstyle\sum f x \ln y - n\bar{x}\bar{L} \\ n &= \textstyle\sum f,\quad \bar{x}=\tfrac{\sum f x}{n},\quad \bar{L}=\tfrac{\sum f \ln y}{n} \end{aligned} \right.$$ و\(r = S_{xy} / (\sqrt{S_{xx}} \cdot \sqrt{S_{yy}})\). وكلما اقتربت قيمة r من \(\pm 1\) دلّ ذلك على ملاءمة قوية.
مثال محلول
لنأخذ النقاط (1، 2.7) و(2، 7.4) و(3، 20.1) و(4، 54.6) كل منها بتكرار 1، وهي قريبة من المنحنى \(y = e^{x}\). هنا \(\bar{x} = 2.5\)، و\(\bar{L} \approx 2.49887\)، و\(S_{xx} = 5\)، و\(S_{xy} \approx 5.0098\)، و\(S_{yy} \approx 5.0196\). وبالتالي \(B \approx 1.0020\)، و\(A = e^{(2.49887 - 2.5048)} \approx 0.9940\)، و\(r \approx 0.9998\). وتكون المعادلة المُلائَمة تقريبًا $$y = 0.9940 \cdot e^{(1.0020 \cdot x)}$$ — أي ما يعادل عمليًا \(y = e^{x}\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون y موجبة؟ لأن عملية الملاءمة تستخدم \(\ln(y)\)، ولوغاريتم الصفر أو العدد السالب غير معرَّف، لذا تُرفض مثل هذه الصفوف.
ماذا يمثل التكرار f؟ هو يحدد مدى تأثير كل نقطة على الملاءمة — وهو مفيد لجداول التوزيع التكراري حيث تشترك عدة ملاحظات في القيمتين نفسيهما (x، y).
كيف أقرأ قيمة r؟ القيمة \(|r|\) فوق 0.7 تعني ارتباطًا قويًا، ومن 0.4 إلى 0.7 ارتباطًا متوسطًا، ومن 0.2 إلى 0.4 ارتباطًا ضعيفًا، وأقل من 0.2 يعني انعدام الارتباط عمليًا.
