ماذا تفعل هذه الحاسبة
تُطابِق هذه الأداة منحنى انحدار لوغاريتمي على الصيغة \(y = A + B\cdot\ln(x)\) مع جدول من المشاهدات، حيث يحمل كل صف تكرارًا (وزنًا) f. يتيح لك الوزن بالتكرار إدخال البيانات المُجمَّعة أو المتكررة بصورة مختصرة: فبدلًا من تكرار الزوج نفسه (x, y) مرات عديدة، تكتبه مرة واحدة مرفقًا بعدد مرات تكراره f. الطريقة إحصائية بحتة وتعمل بالشكل ذاته في أي مكان — فلا تتدخل فيها أي وحدات قياس أو قواعد خاصة بدولة معينة.
طريقة الاستخدام
أدخِل مجموعة مشاهدات واحدة في كل سطر على الصيغة x y f. عمود التكرار اختياري؛ فإذا أغفلته، يُحتسب كل صف مرة واحدة (f = 1). يجب أن تكون كل قيمة x أكبر من الصفر لأن الحساب يأخذ اللوغاريتم الطبيعي لـ x. أدخِل صفّين على الأقل بقيم x مختلفة حتى يتحدد الخط بدقة. اختر دقة العرض (الافتراضي 10 أرقام معنوية) — وهذا لا يؤثر إلا على تقريب الأرقام المعروضة، أما الحساب الأساسي فيبقى كما هو.
شرح المعادلة
لعدد من المجموعات i = 1..m، نفرض أن \(n = \sum f_i\). تكون المتوسطات الموزونة على النحو $$\text{meanLnX} = \frac{\sum f_i\,\ln x_i}{n}$$ و$$\text{meanY} = \frac{\sum f_i\,y_i}{n}.$$ أما مجاميع المربعات الموزونة فهي $$S_{xx} = \sum f_i(\ln x_i)^2 - n\cdot\text{meanLnX}^2,$$ و$$S_{yy} = \sum f_i y_i^2 - n\cdot\text{meanY}^2,$$ و$$S_{xy} = \sum f_i\cdot\ln x_i\cdot y_i - n\cdot\text{meanLnX}\cdot\text{meanY}.$$ ومنها نحصل على \(B = S_{xy}/S_{xx}\)، و\(A = \text{meanY} - B\cdot\text{meanLnX}\)، و$$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\,\sqrt{S_{yy}}}.$$
مثال محلول
باستخدام خمسة صفوف جميعها بتكرار f = 1 — وهي (1,2)، (2,3)، (3,3)، (4,4)، (5,4) — نحصل على \(\text{meanLnX} = 0.9574984\)، و\(\text{meanY} = 3.2\)، و\(S_{xx} = 1.6154888\)، و\(S_{yy} = 2.8\)، و\(S_{xy} = 2.0382328\). وبذلك يكون \(B = 1.2616933\)، و\(A = 1.9919295\)، و\(r = 0.9583567\). والمنحنى المُطابَق هو $$y = 1.9919 + 1.2617\cdot\ln(x)$$ بارتباط قوي.
الأسئلة الشائعة
ما وظيفة عمود التكرار؟ إنه يمنح كل صف وزنًا. فالصف الذي تكراره f = 5 يُعامَل كأنه خمس مشاهدات متطابقة، أي أن تأثيره في المطابقة يفوق صفًا تكراره f = 1 بخمس مرات.
كيف أقرأ قيمة r؟ إذا تجاوزت |r| القيمة 0.7 فالارتباط قوي، ومن 0.4 إلى 0.7 متوسط، ومن 0.2 إلى 0.4 ضعيف، وأقل من 0.2 يعني أنه لا يوجد ارتباط يُذكر.
لماذا تظهر رسالة "تعذّرت المطابقة"؟ تتطلب المطابقة وجود قيمتي x مختلفتين على الأقل (وإلا أصبح \(S_{xx} = 0\))، إضافة إلى تكرار إجمالي موجب. كما يجب أن تكون جميع قيم x أكبر من الصفر حتى يكون ln(x) مُعرَّفًا.
