फ़्रीक्वेंसी-वेटेड लॉगरिदमिक रिग्रेशन कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

डेटा (तालिका इनपुट)

Enter one observation group per line as: x y f (frequency f optional, defaults to 1). x must be > 0.

1 2 1 2 3 1 3 3 1 4 4 1 5 4 1

डिस्प्ले अंक / परिशुद्धता (सार्थक अंक) 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (1)

1. Correlation Coefficient (r)

   

   Weighted Pearson correlation between ln(x) and y, using Syy = sum f y^2 - (sum f y)^2 / n.

परिणाम

फ़्रीक्वेंसी-वेटेड लॉगरिदमिक रिग्रेशन

y = 1.991941243 + 1.26168234 * ln(x)

strong correlation (r = 0.9583474891)

A (intercept of y = A + B·ln x)	1.991941243
B (slope coefficient of y = A + B·ln x)	1.26168234
सहसंबंध गुणांक r	0.9583474891
Total weighted count n = Σ f	5
उपयोग की गई प्रेक्षण पंक्तियाँ	5

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल आपके प्रेक्षणों (observations) की तालिका पर लॉगरिदमिक रिग्रेशन वक्र \(y = A + B\cdot\ln(x)\) के रूप में फिट करता है, जहाँ हर पंक्ति के साथ एक फ़्रीक्वेंसी (वेट) \(f\) जुड़ी होती है। फ़्रीक्वेंसी वेटिंग की मदद से आप समूहबद्ध या दोहराए गए डेटा को छोटे रूप में दर्ज कर सकते हैं: एक ही \((x, y)\) जोड़ी को बार-बार लिखने के बजाय आप उसे एक बार लिखकर उसकी गिनती \(f\) बता देते हैं। यह पूरी तरह सांख्यिकीय (statistical) विधि है और हर जगह एक समान काम करती है — इसमें कोई इकाई या किसी देश के नियम लागू नहीं होते।

इसका उपयोग कैसे करें

हर पंक्ति में एक प्रेक्षण समूह को x y f के रूप में दर्ज करें। फ़्रीक्वेंसी कॉलम वैकल्पिक है; अगर आप इसे छोड़ देते हैं, तो हर पंक्ति एक बार गिनी जाती है (\(f = 1\))। हर \(x\) का मान शून्य से बड़ा होना चाहिए, क्योंकि \(x\) का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लिया जाता है। कम-से-कम दो ऐसी पंक्तियाँ दें जिनमें \(x\) के मान अलग-अलग हों, ताकि रेखा निर्धारित हो सके। एक डिस्प्ले परिशुद्धता (precision) चुनें (डिफ़ॉल्ट 10 सार्थक अंक) — इससे सिर्फ़ दिखाए गए मानों की राउंडिंग बदलती है, असली गणना पर कोई असर नहीं पड़ता।

सूत्र की व्याख्या

मान लें समूह \(i = 1..m\) हैं और \(n = \sum f_i\)। वेटेड माध्य इस प्रकार हैं:

$$\text{meanLnX} = \frac{\sum f_i\,\ln x_i}{n}$$

और

$$\text{meanY} = \frac{\sum f_i\,y_i}{n}$$

वेटेड वर्गों के योग इस तरह निकलते हैं:

$$S_{xx} = \sum f_i (\ln x_i)^2 - n\cdot\text{meanLnX}^2$$$$S_{yy} = \sum f_i\,y_i^2 - n\cdot\text{meanY}^2$$$$S_{xy} = \sum f_i\,\ln x_i\,y_i - n\cdot\text{meanLnX}\cdot\text{meanY}$$

इसके बाद

$$B = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad A = \text{meanY} - B\cdot\text{meanLnX}, \qquad r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\,\sqrt{S_{yy}}}$$

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हर बिंदु का आवृत्ति भार उसके आकार से दिखता है, जो वक्र को भारी बिंदुओं की ओर खींचता है।

बिखरे हुए डेटा बिंदुओं से होकर फिट की गई एक लघुगणकीय वक्र \(y = A + B\cdot\ln(x)\)।

हल किया हुआ उदाहरण

पाँच पंक्तियों के साथ, जहाँ हर \(f = 1\) है — \((1,2)\), \((2,3)\), \((3,3)\), \((4,4)\), \((5,4)\) — हमें मिलता है:

$$\text{meanLnX} = 0.9574984, \quad \text{meanY} = 3.2$$$$S_{xx} = 1.6154888, \quad S_{yy} = 2.8, \quad S_{xy} = 2.0382328$$

इससे

$$B = 1.2616933, \quad A = 1.9919295, \quad r = 0.9583567$$

फिट किया गया वक्र है

$$y = 1.9919 + 1.2617\cdot\ln(x)$$

जिसमें मज़बूत सहसंबंध दिखाई देता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

फ़्रीक्वेंसी कॉलम क्या करता है? यह हर पंक्ति को वेट देता है। जिस पंक्ति की \(f = 5\) है, उसे पाँच एक जैसे प्रेक्षणों के बराबर माना जाता है, यानी वह \(f = 1\) वाली पंक्ति की तुलना में फिट पर पाँच गुना ज़्यादा असर डालती है।

\(r\) को कैसे पढ़ें? \(|r|\) का मान 0.7 से ऊपर मज़बूत, 0.4–0.7 मध्यम, 0.2–0.4 कमज़ोर, और 0.2 से नीचे लगभग कोई सहसंबंध नहीं माना जाता है।

"फिट नहीं हो सकता" क्यों दिखता है? फिट करने के लिए कम-से-कम दो अलग-अलग \(x\) मान ज़रूरी हैं (वरना \(S_{xx} = 0\) हो जाता है) और कुल फ़्रीक्वेंसी धनात्मक होनी चाहिए। साथ ही, सभी \(x\) मान शून्य से बड़े होने चाहिए ताकि \(\ln(x)\) परिभाषित रहे।