यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल न्यूनतम वर्ग विधि (least squares) का उपयोग करके डेटा बिंदुओं के एक समूह पर एक सीधी रेखा \(y = A + Bx\) फ़िट करता है, जहाँ हर बिंदु के साथ एक बारंबारता या भार \(f\) जुड़ा हो सकता है। बारंबारता भारण की मदद से आप बार-बार आने वाले प्रेक्षणों को संक्षेप में दर्ज कर सकते हैं: एक ही (x, y) जोड़ी को कई बार लिखने के बजाय, आप उसे एक बार लिखकर उसकी गिनती दे देते हैं। यह एक सार्वभौमिक, शुद्ध-गणित वाला सांख्यिकी टूल है जो हर जगह एक समान काम करता है।
इसका उपयोग कैसे करें
हर पंक्ति में एक पंक्ति इस तरह दर्ज करें: x, y, f। बारंबारता वाला कॉलम वैकल्पिक है; यदि आप इसे छोड़ देते हैं, तो हर बिंदु को समान भार मिलता है (साधारण अभारित समाश्रयण)। तय करें कि परिणाम कितने सार्थक अंकों (significant figures) में दिखें, फिर सबमिट करें। कैलकुलेटर आपको समाश्रयण रेखा, ढलान \(B\) और इंटरसेप्ट \(A\), पियर्सन सहसंबंध गुणांक \(r\), कुल बारंबारता \(n\), \(x\) और \(y\) के माध्य, और सहायक योग \(S_{xx}\), \(S_{yy}\) तथा \(S_{xy}\) लौटाता है।
सूत्र की व्याख्या
मान लें पंक्तियाँ \(i = 1..N\) हैं जिनके मान \(x_i\), \(y_i\) और बारंबारता \(f_i\) हैं। कुल बारंबारता \(n = \sum f_i\) है। भारित माध्य हैं $$\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{n}, \quad \bar{y} = \frac{\sum y_i f_i}{n}$$ वर्गों के योग हैं $$S_{xx} = \sum x_i^2 f_i - n\cdot\bar{x}^2, \quad S_{yy} = \sum y_i^2 f_i - n\cdot\bar{y}^2, \quad S_{xy} = \sum x_i y_i f_i - n\cdot\bar{x}\cdot\bar{y}$$ ढलान \(B = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}\) है, इंटरसेप्ट \(A = \bar{y} - B\cdot\bar{x}\) है, और सहसंबंध $$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}}}$$ है।
हल किया गया उदाहरण
पंक्तियों (1,2,1), (2,3,2), (3,5,1), (4,4,2), (5,6,1), (6,7,1) के लिए: \(n = 8\), \(\bar{x} = 3.375\), \(\bar{y} = 4.25\)। फिर \(S_{xx} = 19.875\), \(S_{yy} = 19.5\), \(S_{xy} = 18.25\)। तो $$B = \frac{18.25}{19.875} \approx 0.9182, \quad A = 4.25 - 0.9182\cdot 3.375 \approx 1.1509$$ और \(r \approx 0.9271\) — एक मज़बूत धनात्मक सहसंबंध। फ़िट की गई रेखा है $$y = 1.1509 + 0.9182\cdot x$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
बारंबारता वाला कॉलम क्या करता है? यह हर बिंदु को भार देता है। \(f = 3\) वाला बिंदु ऐसे गिना जाता है मानो आपने उसे तीन बार देखा हो। भिन्नात्मक (fractional) भार भी मान्य हैं।
यदि \(r\) की गणना न हो सके तो? यदि सभी \(x\) मान समान हों (\(S_{xx} = 0\)) तो ढलान अपरिभाषित होता है, और यदि \(S_{xx}\) या \(S_{yy}\) में से कोई भी शून्य हो तो सहसंबंध अपरिभाषित रहता है, क्योंकि कोई परिवर्तनशीलता नहीं होती।
सहसंबंध की मज़बूती कैसे आँकी जाती है? \(|r|\) के आधार पर: 0.7 से अधिक मज़बूत, 0.4 से 0.7 मध्यम, 0.2 से 0.4 कमज़ोर, और 0.2 से कम का अर्थ है व्यावहारिक रूप से कोई सहसंबंध नहीं।
