यह कैलकुलेटर क्या करता है
वेटेड क्वाड्रैटिक रिग्रेशन कैलकुलेटर आपके (x, y) डेटा बिंदुओं पर एक द्वितीय-घात बहुपद \(y = A + Bx + Cx^2\) फ़िट करता है, जहाँ हर बिंदु के साथ एक फ़्रीक्वेंसी या वेट f जुड़ा हो सकता है। यह क्वाड्रैटिक लीस्ट-स्क्वेयर्स का फ़्रीक्वेंसी-टेबल वाला रूप है: जो बिंदु f बार आता है, वह हर योग (sum) में f गुना योगदान देता है। यदि आप हर फ़्रीक्वेंसी को 1 रख दें, तो गणित सामान्य (बिना वेट वाली) क्वाड्रैटिक रिग्रेशन में बदल जाती है। यह विशुद्ध सांख्यिकी है और हर देश व हर क्षेत्र में एक समान रूप से लागू होती है।
इसका उपयोग कैसे करें
हर पंक्ति में एक डेटा बिंदु x, y, f के रूप में दर्ज करें। फ़्रीक्वेंसी f वैकल्पिक है और खाली छोड़ने पर इसका मान 1 मान लिया जाता है, इसलिए 2, 5 का अर्थ है x=2, y=5 जिसका वेट 1 है। प्रदर्शित करने के लिए कितने सार्थक अंक (significant digits) चाहिए, यह चुनें (डिफ़ॉल्ट 10)। क्वाड्रैटिक को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए आपके पास कम से कम 3 अलग-अलग x मान होने चाहिए। यह टूल फ़िट के गुणांक A, B, C और बहु सहसंबंध गुणांक (multiple correlation coefficient) r बताता है।
सूत्र की व्याख्या
मान लीजिए \(n = \Sigma f\) कुल वेट है। वेटेड माध्य निकालें \(\bar{x} = \Sigma xf / n\), \(\bar{y} = \Sigma yf / n\), और \(\overline{x^2} = \Sigma x^2 f / n\)। फिर केंद्रित योग \(S_{xx}\), \(S_{xy}\), \(S_{xx^2}\), \(S_{x^2x^2}\), \(S_{x^2y}\) बनाएँ, और B तथा C के लिए \(2 \times 2\) तंत्र को हल करें, जहाँ हर (denominator) \(\text{denom} = S_{xx} \cdot S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^2\) है:
$$\hat{y} = A + Bx + Cx^{2}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} B &= \frac{S_{xy}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}\,S_{x^2y}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ C &= \frac{S_{xx}\,S_{x^2y} - S_{xx^2}\,S_{xy}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ A &= \bar{y} - B\,\bar{x} - C\,\overline{x^2} \end{aligned} \right.$$अंत में \(A = \bar{y} - B \cdot \bar{x} - C \cdot \overline{x^2}\)। सहसंबंध गुणांक \(r = \sqrt{1 - \text{SSE}/\text{SST}}\) है, जहाँ SSE वेटेड अवशिष्ट वर्ग योग (residual sum of squares) और SST वेटेड कुल वर्ग योग (total sum of squares) है।
हल किया हुआ उदाहरण
ऐसा डेटा जहाँ सभी f = 1 हैं: (1,2), (2,3), (3,6), (4,11), (5,18)। यहाँ \(n=5\), \(\bar{x}=3\), \(\bar{y}=8\), \(\overline{x^2}=11\)। योगों से मिलता है \(S_{xx}=10\), \(S_{xy}=40\), \(S_{xx^2}=60\), \(S_{x^2x^2}=374\), \(S_{x^2y}=254\), और \(\text{denom} = 10 \cdot 374 - 60^2 = 140\)। तब $$B = \frac{40 \cdot 374 - 60 \cdot 254}{140} = -2,\quad C = \frac{10 \cdot 254 - 60 \cdot 40}{140} = 1$$ और \(A = 8 - (-2)(3) - 1 \cdot 11 = 3\)। फ़िट \(y = 3 - 2x + x^2\) हर बिंदु को बिल्कुल सटीक रूप से दोहराता है, इसलिए SSE = 0 और r = 1।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
फ़्रीक्वेंसी कॉलम का क्या काम है? यह उस (x, y) जोड़े का वेट (गिनती) है। f = 4 वाली पंक्ति को चार एक जैसे प्रेक्षणों (observations) के बराबर माना जाता है, जो समूहित या तालिकाबद्ध (grouped/tabulated) डेटा के लिए सुविधाजनक है।
मुझे 3 अलग-अलग x मानों की ज़रूरत क्यों है? एक परवलय (parabola) में तीन पैरामीटर (A, B, C) होते हैं। तीन से कम अलग-अलग x मान होने पर तंत्र सिंगुलर हो जाता है और फ़िट अनिर्धारित रह जाता है; ऐसी स्थिति में कैलकुलेटर एक त्रुटि (error) दिखाता है।
r की व्याख्या कैसे करें? r का मान 0 से 1 के बीच होता है। 0.7 से ऊपर मज़बूत फ़िट दर्शाता है, 0.4–0.7 मध्यम, 0.2–0.4 कमज़ोर, और 0.2 से नीचे लगभग न के बराबर।
