Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Ağırlıklı İkinci Dereceden Regresyon Hesaplayıcısı, her noktanın bir frekans ya da ağırlık f değeri taşıyabileceği \((x, y)\) veri noktalarına ikinci dereceden bir polinom, yani \(y = A + Bx + Cx^2\) uydurur. Bu, ikinci dereceden en küçük kareler yönteminin frekans tablosu biçimidir: f kez görülen bir nokta, her toplama f kez katkı yapar. Tüm frekansları 1 olarak ayarlarsanız hesaplama, sıradan (ağırlıksız) ikinci dereceden regresyona dönüşür. Bu tamamen istatistikseldir ve her ülkede, her alanda aynı şekilde geçerlidir.
Nasıl kullanılır?
Her satıra bir veri noktası olacak şekilde x, y, f biçiminde girin. Frekans f isteğe bağlıdır ve boş bırakıldığında otomatik olarak 1 kabul edilir; yani 2, 5 ifadesi x=2, y=5 ve ağırlık 1 anlamına gelir. Görüntülemek istediğiniz anlamlı basamak sayısını seçin (varsayılan 10). İkinci dereceden bir eğrinin tek bir şekilde belirlenebilmesi için en az 3 farklı x değerine ihtiyacınız vardır. Araç; A, B, C katsayılarını ve uyumun çoklu korelasyon katsayısı r değerini raporlar.
Formülün açıklaması
\(n = \Sigma f\) toplam ağırlık olsun. Ağırlıklı ortalamaları hesaplayın: \(\bar{x} = \Sigma xf/n\), \(\bar{y} = \Sigma yf/n\) ve \(\text{meanX2} = \Sigma x^2 f/n\). Merkezlenmiş toplamları \((S_{xx}, S_{xy}, S_{xx^2}, S_{x^2x^2}, S_{x^2y})\) oluşturun ve ardından paydası \(\text{denom} = S_{xx}\cdot S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^2\) olan 2×2 sistemi B ve C için çözün:
$$\hat{y} = A + B\,x + C\,x^{2}$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} B &= \frac{S_{xy}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}\,S_{x^2y}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ C &= \frac{S_{xx}\,S_{x^2y} - S_{xx^2}\,S_{xy}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ A &= \bar{y} - B\,\bar{x} - C\,\overline{x^2} \end{aligned} \right.$$Son olarak \(A = \bar{y} - B\cdot\bar{x} - C\cdot\text{meanX2}\). Korelasyon katsayısı \(r = \sqrt{1 - \text{SSE}/\text{SST}}\) şeklindedir; burada SSE ağırlıklı kalıntı kareler toplamı, SST ise ağırlıklı toplam kareler toplamıdır.
Çözümlü örnek
Tüm f = 1 olan veriler: (1,2), (2,3), (3,6), (4,11), (5,18). Burada \(n=5\), \(\bar{x}=3\), \(\bar{y}=8\), \(\text{meanX2}=11\). Toplamlar şöyledir: \(S_{xx}=10\), \(S_{xy}=40\), \(S_{xx^2}=60\), \(S_{x^2x^2}=374\), \(S_{x^2y}=254\) ve \(\text{denom} = 10\cdot 374 - 60^2 = 140\). Buradan
$$B = \frac{40\cdot 374 - 60\cdot 254}{140} = -2,\quad C = \frac{10\cdot 254 - 60\cdot 40}{140} = 1$$$$A = 8 - (-2)(3) - 1\cdot 11 = 3$$\(y = 3 - 2x + x^2\) uyumu her noktayı birebir yeniden üretir; dolayısıyla \(\text{SSE} = 0\) ve \(r = 1\) olur.
Sıkça Sorulan Sorular
Frekans sütunu ne işe yarar? O \((x, y)\) çiftinin ağırlığını (sayısını) belirtir. f = 4 olan bir satır, dört özdeş gözlem gibi sayılır; bu da gruplanmış veya tablolanmış veriler için oldukça pratiktir.
Neden 3 farklı x değerine ihtiyacım var? Bir parabolün üç parametresi vardır (A, B, C). Üçten az farklı x değeri sistemi tekil hale getirir ve uyum belirsiz kalır; bu durumda hesaplayıcı bir hata bildirir.
r değeri nasıl yorumlanır? r, 0 ile 1 arasında değişir. 0,7'nin üzeri güçlü bir uyumu, 0,4–0,7 orta düzeyi, 0,2–0,4 zayıfı ve 0,2'nin altı ise neredeyse hiç uyum olmadığını gösterir.
