度数付き二次回帰計算

A(定数項)	3.0
B(一次の係数)	-2.0
C(二次の係数)	1.0
相関係数 r	1.0

この計算ツールでできること

度数付き二次回帰計算は、二次式 $y = A + Bx + Cx^2$ を $(x, y)$ のデータ群にあてはめるツールです。各データ点には度数(重み)$f$ を持たせることができます。これは度数分布表に対応した二次の最小二乗法で、$f$ 回出現する点はすべての合計に $f$ 倍だけ寄与します。すべての度数を 1 にすれば、通常の(重みなしの)二次回帰と完全に一致します。純粋な統計計算なので、国や分野を問わず同じように使えます。

使い方

1 行につき 1 つのデータ点を x, y, f の形式で入力します。度数 $f$ は省略可能で、空欄のときは 1 とみなされます。したがって 2, 5 は x=2、y=5、重み 1 を意味します。表示する有効数字の桁数も選べます(初期値は 10 桁)。二次式を一意に決定するには、少なくとも 3 つの異なる $x$ の値が必要です。計算結果として、係数 A・B・C とあてはめの重相関係数 $r$ が表示されます。

計算式の解説

$n = \Sigma f$ を総重み(度数の合計)とします。重み付き平均 $\bar{x} = \Sigma xf / n$、$\bar{y} = \Sigma yf / n$、$\text{meanX2} = \Sigma x^2 f / n$ を求めます。続いて中心化した合計 $S_{xx}$、$S_{xy}$、$S_{xx^2}$、$S_{x^2x^2}$、$S_{x^2y}$ を計算し、分母を $\text{denom} = S_{xx} \cdot S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^2$ として、B と C についての 2×2 連立方程式を解きます。$$\hat{y} = A + B\,x + C\,x^{2} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} B &= \frac{S_{xy}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}\,S_{x^2y}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ C &= \frac{S_{xx}\,S_{x^2y} - S_{xx^2}\,S_{xy}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ A &= \bar{y} - B\,\bar{x} - C\,\overline{x^2} \end{aligned} \right.$$ 最後に $A = \bar{y} - B \cdot \bar{x} - C \cdot \text{meanX2}$ として定数項を求めます。相関係数は $r = \sqrt{1 - \text{SSE}/\text{SST}}$ で計算され、SSE は重み付き残差平方和、SST は重み付き全平方和です。

当てはめた放物線と重み付きデータ点の散布図 — 重み付き二次回帰は放物線 $y = A + Bx + Cx^2$ をデータに当てはめ、各点の影響を頻度に応じて調整します。

計算例

すべて $f = 1$ のデータ:$(1,2)$、$(2,3)$、$(3,6)$、$(4,11)$、$(5,18)$。このとき n=5、$\bar{x}=3$、$\bar{y}=8$、$\text{meanX2}=11$ となります。各合計は $S_{xx}=10$、$S_{xy}=40$、$S_{xx^2}=60$、$S_{x^2x^2}=374$、$S_{x^2y}=254$、$\text{denom} = 10 \cdot 374 - 60^2 = 140$ です。これより $$B = \frac{40 \cdot 374 - 60 \cdot 254}{140} = -2$$ $$C = \frac{10 \cdot 254 - 60 \cdot 40}{140} = 1$$ $$A = 8 - (-2)(3) - 1 \cdot 11 = 3$$ となります。回帰式 $y = 3 - 2x + x^2$ はすべての点を正確に再現するため、$\text{SSE} = 0$、$r = 1$ です。