Qué hace esta calculadora
La calculadora de regresión cuadrática ponderada ajusta un polinomio de segundo grado, \(y = A + Bx + Cx^2\), a un conjunto de puntos \((x, y)\) en los que cada punto puede llevar asociada una frecuencia o peso \(f\). Es la versión con tabla de frecuencias del ajuste cuadrático por mínimos cuadrados: un punto que aparece \(f\) veces contribuye \(f\) veces a cada suma. Si fijas todas las frecuencias en 1, el cálculo se reduce a la regresión cuadrática ordinaria (sin ponderar). Se trata de estadística pura, así que funciona igual en cualquier país o disciplina.
Cómo usarla
Introduce un punto por línea con el formato x, y, f. La frecuencia \(f\) es opcional y vale 1 cuando se deja en blanco, de modo que 2, 5 significa x=2, y=5 con peso 1. Elige cuántas cifras significativas quieres mostrar (10 por defecto). Necesitas al menos 3 valores de \(x\) distintos para que la parábola quede determinada de forma única. La herramienta devuelve los coeficientes A, B, C y el coeficiente de correlación múltiple \(r\) del ajuste.
La fórmula explicada
Sea \(n = \sum f\) el peso total. Calcula las medias ponderadas \(\bar{x} = \sum xf/n\), \(\bar{y} = \sum yf/n\) y \(\overline{x^2} = \sum x^2 f/n\). Forma las sumas centradas \(S_{xx}\), \(S_{xy}\), \(S_{xx^2}\), \(S_{x^2x^2}\), \(S_{x^2y}\) y resuelve el sistema \(2\times 2\) para \(B\) y \(C\) con el denominador \(\text{denom} = S_{xx}\cdot S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^2\):
$$\hat{y} = A + Bx + Cx^{2} \\[1.5em] \text{donde}\quad \left\{ \begin{aligned} B &= \frac{S_{xy}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}\,S_{x^2y}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ C &= \frac{S_{xx}\,S_{x^2y} - S_{xx^2}\,S_{xy}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ A &= \bar{y} - B\,\bar{x} - C\,\overline{x^2} \end{aligned} \right.$$El coeficiente de correlación es \(r = \sqrt{1 - \text{SSE}/\text{SST}}\), donde SSE es la suma ponderada de cuadrados de los residuos y SST la suma ponderada total de cuadrados.
Ejemplo resuelto
Datos con todas las \(f = 1\): (1,2), (2,3), (3,6), (4,11), (5,18). Aquí \(n=5\), \(\bar{x}=3\), \(\bar{y}=8\), \(\overline{x^2}=11\). Las sumas dan \(S_{xx}=10\), \(S_{xy}=40\), \(S_{xx^2}=60\), \(S_{x^2x^2}=374\), \(S_{x^2y}=254\) y \(\text{denom} = 10\cdot 374 - 60^2 = 140\). Entonces
$$B = \frac{40\cdot 374 - 60\cdot 254}{140} = -2, \quad C = \frac{10\cdot 254 - 60\cdot 40}{140} = 1$$$$A = 8 - (-2)(3) - 1\cdot 11 = 3$$El ajuste \(y = 3 - 2x + x^2\) reproduce todos los puntos de forma exacta, así que \(\text{SSE} = 0\) y \(r = 1\).
Preguntas frecuentes
¿Para qué sirve la columna de frecuencia? Es el peso (o recuento) de ese par \((x, y)\). Una fila con \(f = 4\) cuenta como cuatro observaciones idénticas, algo muy práctico para datos agrupados o tabulados.
¿Por qué necesito 3 valores de x distintos? Una parábola tiene tres parámetros (A, B, C). Con menos de tres valores de \(x\) distintos el sistema se vuelve singular y el ajuste queda indeterminado; en ese caso la calculadora muestra un error.
¿Cómo se interpreta r? \(r\) va de 0 a 1. Por encima de 0,7 indica un ajuste fuerte, entre 0,4 y 0,7 moderado, entre 0,2 y 0,4 débil y por debajo de 0,2 prácticamente nulo.
