Что делает этот калькулятор
Калькулятор взвешенной квадратичной регрессии подбирает полином второй степени \(y = A + Bx + Cx^{2}\) по набору точек \((x, y)\), где каждой точке можно задать частоту или вес \(f\). Это вариант метода наименьших квадратов для квадратичной регрессии, рассчитанный на таблицу частот: точка, встречающаяся \(f\) раз, входит в каждую сумму с весом \(f\). Если для всех точек задать частоту 1, расчёт сводится к обычной (невзвешенной) квадратичной регрессии. Это чистая статистика, которая работает одинаково в любой стране и в любой области.
Как пользоваться
Вводите по одной точке данных в строке в формате x, y, f. Частота \(f\) необязательна и по умолчанию равна 1, если поле оставлено пустым, поэтому запись 2, 5 означает x=2, y=5 с весом 1. Выберите, сколько значащих цифр выводить (по умолчанию 10). Чтобы парабола определялась однозначно, нужно не менее 3 различных значений \(x\). Калькулятор выдаёт коэффициенты A, B, C и множественный коэффициент корреляции \(r\) для построенной модели.
Разбор формулы
Пусть \(n = \Sigma f\) — суммарный вес. Вычислите взвешенные средние \(\bar{x} = \Sigma xf/n\), \(\bar{y} = \Sigma yf/n\) и \(\overline{x^2} = \Sigma x^{2}f/n\). Затем сформируйте центрированные суммы \(S_{xx}\), \(S_{xy}\), \(S_{xx^2}\), \(S_{x^2x^2}\), \(S_{x^2y}\) и решите систему \(2\times 2\) относительно B и C:
$$\hat{y} = A + B\,x + C\,x^{2} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} B &= \frac{S_{xy}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}\,S_{x^2y}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ C &= \frac{S_{xx}\,S_{x^2y} - S_{xx^2}\,S_{xy}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ A &= \bar{y} - B\,\bar{x} - C\,\overline{x^2} \end{aligned} \right.$$со знаменателем \(\text{denom} = S_{xx}\cdot S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}\): \(B = (S_{xy}\cdot S_{x^2x^2} - S_{xx^2}\cdot S_{x^2y})/\text{denom}\) и \(C = (S_{xx}\cdot S_{x^2y} - S_{xx^2}\cdot S_{xy})/\text{denom}\). Наконец, \(A = \bar{y} - B\cdot\bar{x} - C\cdot\overline{x^2}\). Коэффициент корреляции равен \(r = \sqrt{1 - \text{SSE}/\text{SST}}\), где SSE — взвешенная сумма квадратов остатков, а SST — взвешенная полная сумма квадратов.
Пример с расчётом
Данные, у которых все \(f = 1\): (1,2), (2,3), (3,6), (4,11), (5,18). Здесь \(n=5\), \(\bar{x}=3\), \(\bar{y}=8\), \(\overline{x^2}=11\). Суммы дают \(S_{xx}=10\), \(S_{xy}=40\), \(S_{xx^2}=60\), \(S_{x^2x^2}=374\), \(S_{x^2y}=254\), а \(\text{denom} = 10\cdot 374 - 60^{2} = 140\). Тогда \(B = (40\cdot 374 - 60\cdot 254)/140 = -2\), \(C = (10\cdot 254 - 60\cdot 40)/140 = 1\), а \(A = 8 - (-2)(3) - 1\cdot 11 = 3\). Модель \(y = 3 - 2x + x^{2}\) точно проходит через все точки, поэтому \(\text{SSE} = 0\) и \(r = 1\).
Частые вопросы
Зачем нужен столбец частоты? Это вес (количество повторений) данной пары \((x, y)\). Строка с \(f = 4\) учитывается как четыре одинаковых наблюдения — это удобно для сгруппированных или табличных данных.
Почему нужно 3 различных значения x? У параболы три параметра (A, B, C). Если различных значений \(x\) меньше трёх, система становится вырожденной, а модель — неопределённой; в этом случае калькулятор выдаёт ошибку.
Как интерпретировать r? Значение \(r\) изменяется от 0 до 1. Выше 0,7 — сильная связь, 0,4–0,7 — умеренная, 0,2–0,4 — слабая, ниже 0,2 — практически отсутствует.
