À quoi sert ce calculateur
Le calculateur de régression quadratique pondérée ajuste un polynôme du second degré, \(y = A + Bx + Cx^2\), à un ensemble de points \((x, y)\) où chaque point peut porter une fréquence ou un poids \(f\). Il s'agit de la forme « table de fréquences » de la méthode des moindres carrés quadratiques : un point qui apparaît \(f\) fois contribue \(f\) fois à chaque somme. Si vous fixez toutes les fréquences à 1, le calcul se ramène à une régression quadratique ordinaire (non pondérée). C'est de la statistique pure, qui s'applique à l'identique dans tous les pays et tous les domaines.
Comment l'utiliser
Saisissez un point de données par ligne sous la forme x, y, f. La fréquence \(f\) est facultative et vaut 1 par défaut lorsqu'elle est laissée vide : ainsi 2, 5 signifie x=2, y=5 avec un poids de 1. Choisissez le nombre de chiffres significatifs à afficher (10 par défaut). Il faut au moins 3 valeurs de \(x\) distinctes pour qu'une parabole soit déterminée de façon unique. L'outil renvoie les coefficients A, B, C ainsi que le coefficient de corrélation multiple \(r\) de l'ajustement.
La formule expliquée
Posons \(n = \Sigma f\), le poids total. Calculez les moyennes pondérées \(\bar{x} = \Sigma xf/n\), \(\bar{y} = \Sigma yf/n\) et \(\overline{x^2} = \Sigma x^2 f/n\). Formez ensuite les sommes centrées \(S_{xx}\), \(S_{xy}\), \(S_{xx^2}\), \(S_{x^2x^2}\), \(S_{x^2y}\), puis résolvez le système 2×2 pour B et C avec le dénominateur \(\text{denom} = S_{xx}\cdot S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^2\) :
$$\hat{y} = A + B\,x + C\,x^{2} \\[1.5em] \text{où}\quad \left\{ \begin{aligned} B &= \frac{S_{xy}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}\,S_{x^2y}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ C &= \frac{S_{xx}\,S_{x^2y} - S_{xx^2}\,S_{xy}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ A &= \bar{y} - B\,\bar{x} - C\,\overline{x^2} \end{aligned} \right.$$Enfin, \(A = \bar{y} - B\cdot\bar{x} - C\cdot\overline{x^2}\). Le coefficient de corrélation est \(r = \sqrt{1 - \text{SSE}/\text{SST}}\), où SSE est la somme pondérée des carrés des résidus et SST la somme pondérée totale des carrés.
Exemple résolu
Des données avec tous les \(f = 1\) : (1,2), (2,3), (3,6), (4,11), (5,18). Ici n=5, \(\bar{x}=3\), \(\bar{y}=8\), \(\overline{x^2}=11\). Les sommes donnent \(S_{xx}=10\), \(S_{xy}=40\), \(S_{xx^2}=60\), \(S_{x^2x^2}=374\), \(S_{x^2y}=254\), et $$\text{denom} = 10\cdot 374 - 60^2 = 140.$$ On obtient alors $$B = \frac{40\cdot 374 - 60\cdot 254}{140} = -2, \quad C = \frac{10\cdot 254 - 60\cdot 40}{140} = 1,$$ et $$A = 8 - (-2)(3) - 1\cdot 11 = 3.$$ L'ajustement \(y = 3 - 2x + x^2\) reproduit exactement chaque point : SSE = 0 et r = 1.
FAQ
À quoi sert la colonne de fréquence ? C'est le poids (l'effectif) de la paire \((x, y)\) correspondante. Une ligne avec \(f = 4\) compte comme quatre observations identiques, ce qui est pratique pour des données groupées ou présentées sous forme de tableau.
Pourquoi faut-il 3 valeurs de x distinctes ? Une parabole possède trois paramètres (A, B, C). Avec moins de trois valeurs de \(x\) distinctes, le système devient singulier et l'ajustement indéterminé ; le calculateur signale alors une erreur.
Comment interpréter r ? \(r\) varie de 0 à 1. Au-dessus de 0,7, l'ajustement est fort ; entre 0,4 et 0,7, modéré ; entre 0,2 et 0,4, faible ; et en dessous de 0,2, quasiment inexistant.
