Qu'est-ce que le calculateur de régression de courbe pondérée ?
Cet outil ajuste l'un des sept modèles de courbe à un tableau de points (x, y, fréquence) grâce à la méthode des moindres carrés pondérés par la fréquence. Chaque point est compté autant de fois que sa fréquence f, si bien que les observations répétées exercent une influence proportionnelle. Il s'agit d'un outil purement mathématique et statistique : il fonctionne de façon identique partout dans le monde.
Mode d'emploi
Saisissez une ligne par observation sous la forme x y f (valeurs séparées par des espaces ou des virgules). La fréquence f est facultative et vaut 1 par défaut ; elle doit être au moins égale à 0. Choisissez ensuite le type de régression et le nombre de chiffres significatifs à afficher, puis lisez les coefficients ajustés A, B (et C pour le modèle quadratique), l'équation de la régression ainsi que le coefficient de corrélation \(r\).
La formule
La plupart des modèles sont linéarisés : avec les variables transformées X et Y et les poids \(w=f\), on calcule \(N=\Sigma w\), puis $$S_{xx}=\Sigma wX^{2}-\frac{(\Sigma wX)^{2}}{N}$$ $$S_{yy}=\Sigma wY^{2}-\frac{(\Sigma wY)^{2}}{N}$$ $$S_{xy}=\Sigma wXY-\frac{(\Sigma wX)(\Sigma wY)}{N}$$ La pente vaut \(b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\), l'ordonnée à l'origine \(a=\bar{Y}-b\cdot\bar{X}\) et \(r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\cdot S_{yy}}}\). Les coefficients A et B sont obtenus par transformation inverse propre à chaque modèle. Le modèle quadratique $$y=A+Bx+Cx^{2}$$ est ajusté en résolvant le système pondéré \(3\times 3\) des équations normales, et son \(r\) correspond à la corrélation multiple \(\sqrt{R^{2}}\).
Exemple détaillé
Modèle linéaire avec les lignes (1,2,1), (2,3,2), (3,5,1) : \(N=4\), \(\Sigma wx=8\), \(\Sigma wy=13\), \(\Sigma wx^{2}=18\), \(\Sigma wxy=29\), \(\Sigma wy^{2}=47\). On obtient alors \(S_{xx}=2\), \(S_{xy}=3\), \(S_{yy}=4{,}75\), d'où \(B=1{,}5\), \(A=0{,}25\) et \(r=\frac{3}{\sqrt{9{,}5}}=0{,}9733\). L'équation ajustée est donc $$y = 0{,}25 + 1{,}5\cdot x$$
FAQ
Que signifie le coefficient de corrélation ? \(0{,}7<|r|\le 1\) corrélation forte, \(0{,}4<|r|<0{,}7\) modérée, \(0{,}2<|r|<0{,}4\) faible, \(0\le|r|<0{,}2\) nulle.
Pourquoi certains modèles sont-ils rejetés ? Les modèles logarithmique et puissance exigent \(x>0\) ; les modèles e-exponentiel, ab-exponentiel et puissance exigent \(y>0\) ; le modèle inverse exige \(x\ne 0\) (car la transformation utilise \(\ln\) ou \(1/x\)).
La précision modifie-t-elle le résultat ? Non : elle ne change que le nombre de chiffres affichés.
