À quoi sert ce calculateur
Cet outil ajuste le modèle de régression de votre choix à votre tableau de couples d'observations (x, y) grâce à la méthode des moindres carrés. Il fournit les coefficients ajustés (A, B, et C pour le modèle quadratique), le coefficient de corrélation r qui mesure la qualité de l'ajustement aux données, ainsi qu'une valeur estimée calculée directement à partir de l'équation obtenue. C'est un outil mathématique et statistique universel, sans règle propre à un pays.
Les sept modèles
Vous pouvez opter pour le modèle linéaire (\(y = A + B\cdot x\)), logarithmique (\(y = A + B\cdot \ln x\)), exponentiel en e (\(y = A\cdot e^{Bx}\)), exponentiel en ab (\(y = A\cdot B^x\)), puissance (\(y = A\cdot x^B\)), inverse (\(y = A + B/x\)) ou quadratique (\(y = A + B\cdot x + C\cdot x^2\)). Tous, sauf le quadratique, sont ajustés après linéarisation sous la forme \(Y = a + b\cdot X\), puis application des moindres carrés ordinaires ; le quadratique est résolu à partir de son système de 3 équations normales (3\(\times\)3).
Mode d'emploi
Saisissez vos valeurs x et vos valeurs y sous forme de listes séparées par des virgules et de même longueur, choisissez le type de régression, indiquez si vous souhaitez estimer y à partir de x ou x à partir de y, puis entrez la valeur connue. Le calculateur renvoie les coefficients, la corrélation r et l'estimation.
La formule expliquée
Pour les couples linéarisés (X, Y) : \(b = S_{xy} / S_{xx}\) et \(a = \bar{Y} - b\cdot \bar{X}\), où \(S_{xx} = \sum X^2 - n\bar{X}^2\) et \(S_{xy} = \sum XY - n\bar{X}\bar{Y}\). La corrélation vaut $$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\cdot S_{yy}}}.$$ Les coefficients sont ensuite recalculés par substitution inverse (par exemple \(A = e^a\) pour les modèles exponentiel et puissance).
Exemple résolu
Pour \(x = [1,2,3,4,5,6,7]\) et \(y = [3,5,7,8,11,13,14]\) avec un ajustement linéaire : \(S_{xx} = 28\), \(S_{xy} = 53\), donc $$B = \frac{53}{28} = 1{,}892857$$ et $$A = 8{,}714286 - 1{,}892857\cdot 4 = 1{,}142857.$$ La corrélation est $$r = \frac{53}{\sqrt{28\cdot 101{,}4286}} = 0{,}99453.$$ En estimant y pour \(x = 64\), on obtient $$1{,}142857 + 1{,}892857\cdot 64 = 122{,}2857$$ (une extrapolation bien au-delà de la plage des données).
FAQ
Comment interpréter r ? En gros : \(0{,}7 < |r| \le 1\) corrélation forte, \(0{,}4 < |r| < 0{,}7\) modérée, \(0{,}2 < |r| < 0{,}4\) faible, en dessous de 0,2 négligeable.
Pourquoi certains modèles sont-ils refusés ? Les modèles logarithmique et puissance exigent \(x > 0\), les modèles exponentiel et puissance exigent \(y > 0\), et le modèle inverse exige \(x \ne 0\), en raison des transformations logarithmiques ou inverses.
Puis-je extrapoler ? Oui, mais les estimations situées hors de la plage des données observées sont des extrapolations à manier avec prudence.
