À quoi sert ce calculateur
Le calculateur d'analyse de régression de courbe ajuste une courbe mathématique de votre choix à un tableau de points de données (x, y). Il renvoie les coefficients ajustés (A, B et, pour le modèle quadratique, C), l'équation ajustée explicite, ainsi que le coefficient de corrélation r, qui mesure la qualité de l'ajustement entre la courbe et vos données. Il s'agit de statistiques pures, valables de façon identique partout dans le monde : toutes les valeurs sont des nombres sans dimension, dépourvus d'unités.
Modèles disponibles
Vous pouvez ajuster sept familles de courbes : linéaire (\(y = A + B\cdot x\)), logarithmique (\(y = A + B\cdot\ln x\)), exponentielle en e (\(y = A\cdot e^{B\cdot x}\)), exponentielle en ab (\(y = A\cdot B^{x}\)), puissance (\(y = A\cdot x^{B}\)), inverse (\(y = A + B/x\)) et quadratique (\(y = A + B\cdot x + C\cdot x^{2}\)). Chaque modèle non quadratique est ajusté en transformant les variables (logarithmes ou inverses), en appliquant la méthode des moindres carrés ordinaires, puis en retransformant les coefficients.
Comment l'utiliser
Saisissez vos données à raison d'un couple (x, y) par ligne, par exemple 1,2. Choisissez un type de régression dans le menu déroulant, indiquez le nombre de décimales à afficher, puis validez. Les modèles logarithmique et puissance exigent que tous les x soient > 0 ; les modèles exponentiel et puissance exigent que tous les y soient > 0 ; le modèle inverse exige \(x \neq 0\). Le modèle quadratique nécessite au moins trois points.
La formule expliquée
Pour des variables transformées u et v, la méthode des moindres carrés donne la pente $$B = \frac{N\sum uv - \sum u\sum v}{N\sum u^{2} - (\sum u)^{2}}$$ et l'ordonnée à l'origine $$A = \frac{\sum v - B\sum u}{N}.$$ La corrélation r utilise le même numérateur, divisé par la racine carrée du produit des termes de variation de x et de y. Pour les modèles non linéaires, A et B sont récupérés à l'aide de \(\exp(\dots)\) après ajustement dans l'espace logarithmique.
Exemple résolu (linéaire)
Données : (1,2), (2,3), (3,5), (4,4), (5,6). Ici \(N=5\), \(\sum x=15\), \(\sum y=20\), \(\sum x^{2}=55\), \(\sum xy=69\), \(\sum y^{2}=90\). On obtient alors $$B = \frac{5\cdot 69 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 225} = \frac{45}{50} = 0{,}9$$ et $$A = \frac{20 - 0{,}9\cdot 15}{5} = 1{,}3.$$ La droite ajustée est \(y = 1{,}3 + 0{,}9x\) avec $$r = \frac{45}{\sqrt{50\cdot 50}} = 0{,}9,$$ soit une forte corrélation positive.
FAQ
Que signifie r ? Une valeur de \(|r|\) supérieure à 0,7 indique une forte corrélation, entre 0,4 et 0,7 une corrélation modérée, entre 0,2 et 0,4 une corrélation faible, et en dessous de 0,2 une corrélation quasi inexistante.
Pourquoi le modèle exponentiel refuse-t-il les y négatifs ? L'ajustement se fait sur \(\ln(y)\), qui n'est pas défini pour les valeurs nulles ou négatives ; ces modèles exigent donc \(y > 0\).
Quel modèle choisir ? Tracez d'abord vos données : un nuage à peu près rectiligne convient au modèle linéaire, une croissance qui s'accélère au modèle exponentiel ou puissance, et une courbe présentant une seule inflexion au modèle quadratique.
