この計算ツールでできること
「曲線回帰分析 計算ツール」は、入力した (x, y) のデータ表に、選んだ数式の曲線を当てはめます。求まるのは、当てはめ後の係数（A・B、2次モデルの場合はさらに C）、具体的な回帰式、そして曲線がデータにどれだけよく適合しているかを示す相関係数 \(r\) です。これは純粋な統計計算であり、どこで使っても結果は同じです。すべての値は単位を持たない無次元の数値として扱われます。
対応している回帰モデル
次の7種類の曲線に当てはめできます。線形（\(y = A + B\,x\)）、対数（\(y = A + B\,\ln x\)）、e指数（\(y = A\,e^{B\,x}\)）、ab指数（\(y = A\,B^{x}\)）、べき乗（\(y = A\,x^{B}\)）、逆数（\(y = A + B/x\)）、2次（\(y = A + B\,x + C\,x^{2}\)）です。2次以外のモデルはいずれも、変数を変換（対数や逆数をとる）したうえで最小二乗法を実行し、得られた係数を元のスケールに戻すことで当てはめています。
使い方
データは1行につき (x, y) のペアを1組ずつ、たとえば 1,2 のように入力します。プルダウンから回帰の種類を選び、表示桁数を設定して計算を実行してください。対数モデルとべき乗モデルではすべての x > 0 が必要です。指数モデルとべき乗モデルではすべての y > 0 が必要です。逆数モデルでは x ≠ 0 が必要です。2次モデルには少なくとも3点のデータが必要です。
計算式の解説
変換後の変数を u, v とすると、最小二乗法により傾き $$B = \frac{N\sum uv - \sum u\sum v}{N\sum u^{2} - (\sum u)^{2}}$$ 切片 $$A = \frac{\sum v - B\sum u}{N}$$ が得られます。相関係数 \(r\) は同じ分子を、x の変動項と y の変動項の積の平方根で割って求めます。非線形モデルの場合、対数空間で当てはめた後に \(\exp(\ldots)\) を用いて A・B を元の値に戻します。
計算例（線形）
データ：(1,2), (2,3), (3,5), (4,4), (5,6)。ここで \(N=5\)、\(\sum x=15\)、\(\sum y=20\)、\(\sum x^{2}=55\)、\(\sum xy=69\)、\(\sum y^{2}=90\) です。すると $$B = \frac{5\cdot 69 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 225} = \frac{45}{50} = 0.9$$ $$A = \frac{20 - 0.9\cdot 15}{5} = 1.3$$ となります。当てはめた直線は \(y = 1.3 + 0.9x\)、相関係数は $$r = \frac{45}{\sqrt{50\cdot 50}} = 0.9$$ で、強い正の相関を示します。
よくある質問
r は何を表しますか？ \(|r|\) が 0.7 を超えると強い相関、0.4〜0.7 で中程度の相関、0.2〜0.4 で弱い相関、0.2 未満ではほとんど相関がないと判断します。
指数モデルで負の y が使えないのはなぜですか？ 当てはめは \(\ln(y)\) を用いて行いますが、0以下の値では \(\ln\) が定義できないため、これらのモデルでは y > 0 が必要になります。
どのモデルを選べばよいですか？ まずはデータをグラフに描いてみましょう。ほぼ直線に並ぶなら線形、加速度的に増加するなら指数やべき乗、1か所で曲がる形なら2次が適しています。
