Что делает этот калькулятор
Калькулятор регрессионного анализа кривых подбирает выбранную математическую кривую к таблице точек данных (x, y). Он возвращает найденные коэффициенты (A, B, а для квадратичной модели — ещё и C), явное уравнение подобранной кривой и коэффициент корреляции r, который показывает, насколько хорошо кривая описывает ваши данные. Это чистая статистика, которая работает одинаково в любой стране: все значения — безразмерные числа без единиц измерения.
Доступные модели
Можно подобрать семь семейств кривых: линейную (\(y = A + B\,x\)), логарифмическую (\(y = A + B\ln x\)), экспоненциальную с основанием e (\(y = A\,e^{B\,x}\)), экспоненциальную ab (\(y = A\,B^{x}\)), степенную (\(y = A\,x^{B}\)), обратную (\(y = A + B/x\)) и квадратичную (\(y = A + B\,x + C\,x^{2}\)). Каждая нелинейная модель подбирается через преобразование переменных (логарифмирование или взятие обратных величин), обычный метод наименьших квадратов и обратное преобразование коэффициентов.
Как пользоваться
Введите данные так, чтобы на каждой строке была одна пара (x, y), например 1,2. Выберите тип регрессии из выпадающего списка, задайте число выводимых знаков и нажмите кнопку. Для логарифмической и степенной моделей нужно, чтобы все \(x > 0\); для экспоненциальной и степенной — чтобы все \(y > 0\); для обратной модели требуется \(x \neq 0\). Квадратичной модели нужно минимум три точки.
Разбор формулы
Для преобразованных переменных u и v метод наименьших квадратов даёт наклон $$B = \frac{N\sum uv - \sum u\sum v}{N\sum u^{2} - (\sum u)^{2}}$$ и свободный член $$A = \frac{\sum v - B\sum u}{N}.$$ Корреляция r использует тот же числитель, делённый на корень из произведения дисперсионных слагаемых по x и по y. Для нелинейных моделей коэффициенты A и B восстанавливаются через \(\exp(\dots)\) после подбора в логарифмическом пространстве.
Пример расчёта (линейная модель)
Данные: (1,2), (2,3), (3,5), (4,4), (5,6). Здесь \(N=5\), \(\sum x=15\), \(\sum y=20\), \(\sum x^{2}=55\), \(\sum xy=69\), \(\sum y^{2}=90\). Тогда $$B = \frac{5\cdot 69 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 225} = \frac{45}{50} = 0{,}9$$ и $$A = \frac{20 - 0{,}9\cdot 15}{5} = 1{,}3.$$ Подобранная прямая — \(y = 1{,}3 + 0{,}9x\) при $$r = \frac{45}{\sqrt{50\cdot 50}} = 0{,}9,$$ то есть сильная положительная корреляция.
Частые вопросы
Что означает r? Значения \(|r|\) выше 0,7 говорят о сильной корреляции, 0,4–0,7 — об умеренной, 0,2–0,4 — о слабой, а ниже 0,2 — практически об отсутствии связи.
Почему экспоненциальная модель не принимает отрицательные y? Подбор идёт по \(\ln(y)\), а логарифм неопределён для неположительных значений, поэтому такие модели требуют \(y > 0\).
Какую модель выбрать? Сначала постройте график: примерно прямая линия подходит для линейной модели, ускоряющийся рост — для экспоненциальной или степенной, а кривая с одним изгибом — для квадратичной.
