Что такое экспоненциальная регрессия?
Экспоненциальная регрессия подбирает кривую вида \(y = A\,e^{Bx}\) к набору парных точек данных. Это стандартный инструмент для моделирования величин, которые растут или убывают со скоростью, пропорциональной их текущему значению: рост населения, радиоактивный распад, сложные проценты или размножение бактерий. Калькулятор представляет собой чисто математический и статистический инструмент, поэтому он работает одинаково в любой стране и не зависит от каких-либо национальных особенностей.
Как пользоваться калькулятором
Введите независимые значения в поле Значения X, а зависимые — в поле Значения Y, оба списка через запятую. В обоих списках должно быть одинаковое количество элементов, нужно минимум две точки, и каждое значение Y обязано быть строго положительным (метод опирается на натуральный логарифм y). Выберите точность отображения и считайте подобранные коэффициенты A и B, коэффициент корреляции \(r\) и готовое уравнение.
Разбор формулы
Поскольку зависимость \(y = A\,e^{Bx}\) нелинейна, мы линеаризуем её, взяв натуральный логарифм: \(\ln y = \ln A + B\,x\). Это обычная линейная регрессия \(\ln(y)\) по \(x\). Через центрированные суммы \(S_{xx} = \sum (x - \bar{x})^2\), \(S_{yy} = \sum (\ln y - \overline{\ln y})^2\) и \(S_{xy} = \sum (x - \bar{x})(\ln y - \overline{\ln y})\) наклон равен $$B = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}$$ а $$A = \exp\!\left(\overline{\ln y} - B\,\bar{x}\right)$$ Коэффициент корреляции \(r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}}}\) находится в диапазоне от \(-1\) до \(1\); значения по модулю выше \(0{,}7\) говорят о сильной связи.
Пример расчёта
Для \(x = [1, 2, 3, 4, 5]\) и \(y = [2.7, 7.4, 20.1, 54.6, 148.4]\) (примерно \(e^{x}\)) получаем \(S_{xx} = 10\), \(S_{xy} \approx 10{,}0115\), \(S_{yy} \approx 10{,}0231\). Тогда \(B \approx 1{,}0012\), \(A \approx 0{,}9956\), а \(r \approx 1{,}0000\). Подобранная кривая $$y \approx 0{,}9956\cdot e^{1{,}0012x}$$ подтверждает, что данные действительно описываются функцией \(y = e^{x}\).
Частые вопросы
Почему Y должно быть положительным? Метод использует \(\ln(y)\); логарифм нуля или отрицательного числа не определён, поэтому неположительные значения Y отклоняются.
Что означает r близкое к 1? Это значит, что экспоненциальная модель очень хорошо описывает данные. Значения около 0 говорят о слабой экспоненциальной связи или её отсутствии.
Может ли x быть отрицательным? Да. X может быть любым вещественным числом; ограничение на положительные значения касается только Y.
