Hồi quy mũ là gì?
Hồi quy mũ là phương pháp khớp một đường cong dạng \(y = A\cdot e^{Bx}\) với một tập các cặp điểm dữ liệu. Đây là công cụ tiêu chuẩn để mô hình hóa những đại lượng tăng hoặc giảm với tốc độ tỉ lệ thuận với giá trị hiện tại của chúng, chẳng hạn như tăng trưởng dân số, phân rã phóng xạ, lãi kép hay sự sinh sôi của vi khuẩn. Máy tính này là một công cụ toán học và thống kê thuần túy, nên áp dụng giống hệt nhau ở mọi nơi, không phụ thuộc vào quy định của bất kỳ quốc gia nào.
Cách sử dụng
Nhập các giá trị độc lập vào ô Giá trị X và các giá trị phụ thuộc vào ô Giá trị Y, cả hai đều dưới dạng các con số ngăn cách bằng dấu phẩy. Hai danh sách phải có cùng số phần tử, bạn cần tối thiểu hai điểm dữ liệu, và mỗi giá trị Y bắt buộc phải dương (vì phương pháp này cần lấy logarit tự nhiên của y). Chọn độ chính xác hiển thị, rồi đọc kết quả gồm các hệ số A và B đã khớp, hệ số tương quan r, cùng phương trình hoàn chỉnh.
Giải thích công thức
Vì \(y = A\cdot e^{Bx}\) là phi tuyến, ta tuyến tính hóa nó bằng cách lấy logarit tự nhiên:
$$\ln y = \ln A + B\cdot x$$Đây chính là một bài toán hồi quy tuyến tính thông thường giữa \(\ln(y)\) và \(x\). Dùng các tổng đã căn giữa \(S_{xx} = \sum (x - \bar{x})^2\), \(S_{yy} = \sum (\ln y - \overline{\ln y})^2\), và \(S_{xy} = \sum (x - \bar{x})(\ln y - \overline{\ln y})\), độ dốc là
$$B = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \qquad A = \exp\!\left(\overline{\ln y} - B\cdot\bar{x}\right)$$Hệ số tương quan
$$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}}}$$nằm trong khoảng từ −1 đến 1; khi giá trị tuyệt đối vượt 0,7 thì đường cong khớp rất tốt.
Ví dụ minh họa
Với \(x = [1, 2, 3, 4, 5]\) và \(y = [2{,}7;\ 7{,}4;\ 20{,}1;\ 54{,}6;\ 148{,}4]\) (xấp xỉ \(e^x\)), ta có \(S_{xx} = 10\), \(S_{xy} \approx 10{,}0115\), \(S_{yy} \approx 10{,}0231\). Khi đó \(B \approx 1{,}0012\), \(A \approx 0{,}9956\) và \(r \approx 1{,}0000\). Đường cong khớp \(y \approx 0{,}9956\cdot e^{1{,}0012x}\) khẳng định dữ liệu được sinh ra từ \(y = e^x\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao Y phải dương? Phương pháp này lấy \(\ln(y)\); mà logarit của số 0 hoặc số âm không xác định, nên các giá trị Y không dương sẽ bị loại.
r gần 1 nghĩa là gì? Nghĩa là mô hình mũ mô tả dữ liệu rất tốt. Giá trị gần 0 cho thấy hầu như không có quan hệ mũ giữa các biến.
x có thể âm không? Có. X có thể là bất kỳ số thực nào; chỉ Y mới bị giới hạn ở giá trị dương.
