Hồi quy bậc hai là gì?
Hồi quy bậc hai là phương pháp khớp một đa thức bậc hai có dạng \(y = A + B\cdot x + C\cdot x^{2}\) với một tập các cặp quan sát (x, y). Khác với đường thẳng, một đường parabol có thể nắm bắt được độ cong của dữ liệu — chẳng hạn dữ liệu tăng rồi giảm, hoặc tăng tốc dần — nên phương pháp này được dùng rộng rãi trong vật lý (chuyển động ném xiên), kinh tế học (đường chi phí) và bất kỳ trường hợp nào mà mối quan hệ giữa hai biến số bị "uốn cong". Đây hoàn toàn là toán học và thống kê: cách tính giống nhau ở mọi nơi và không phụ thuộc vào quy tắc hay đơn vị của bất kỳ quốc gia nào.
Cách sử dụng máy tính
Nhập các điểm dữ liệu vào ô bên dưới, mỗi cặp trên một dòng, với giá trị x và y cách nhau bằng dấu cách hoặc dấu phẩy (ví dụ 3, 5). Bạn cần ít nhất ba điểm để xác định được ba hệ số A, B và C; càng nhiều điểm thì kết quả khớp càng đáng tin cậy. Hãy chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị, sau đó đọc kết quả gồm A, B, C, phương trình hồi quy đã ghép hoàn chỉnh và hệ số tương quan \(r\).
Giải thích công thức
Các hệ số được tính bằng phương pháp bình phương tối thiểu. Với \(n\) điểm, ta tính các giá trị trung bình \(\bar{x}\), \(\bar{y}\) và trung bình của bình phương \(\overline{x^2}\). Tiếp theo, lập các tổng đã quy tâm \(S_{xx}\), \(S_{xy}\), \(S_{xx^2}\), \(S_{x^2x^2}\) và \(S_{x^2y}\) theo các đẳng thức mô-men thô (ví dụ \(S_{xx} = \Sigma x^{2} - n\cdot\bar{x}^{2}\)). Với \(\text{denom} = S_{xx}\cdot S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}\), các hệ số được tính như sau:
$$\begin{aligned} B &= \frac{S_{xy}\,S_{x^2x^2} - S_{x^2y}\,S_{xx^2}}{\text{denom}} \\[0.5em] C &= \frac{S_{x^2y}\,S_{xx} - S_{xy}\,S_{xx^2}}{\text{denom}} \\[0.5em] A &= \bar{y} - B\,\bar{x} - C\,\overline{x^2} \end{aligned}$$Hệ số tương quan \(r\) bằng căn bậc hai của 1 trừ đi tỉ số giữa tổng bình phương phần dư và tổng bình phương toàn phần.
Ví dụ minh họa
Với các điểm (1,1), (2,2), (3,5), (4,10), (5,17): \(n = 5\), \(\bar{x} = 3\), \(\bar{y} = 7\), \(\overline{x^2} = 11\). Khi đó ta có \(S_{xx} = 10\), \(S_{xy} = 40\), \(S_{xx^2} = 60\), \(S_{x^2x^2} = 374\), \(S_{x^2y} = 254\), \(\text{denom} = 140\). Suy ra \(B = -2\), \(C = 1\), \(A = 2\). Kết quả khớp là \(y = 2 - 2x + x^{2}\), đường cong này đi qua đúng từng điểm một, nên \(r = 1\).
Câu hỏi thường gặp
Tôi cần bao nhiêu điểm? Cần ít nhất ba giá trị x khác nhau; nếu ít hơn, hoặc nếu tất cả giá trị x đều bằng nhau, hệ phương trình sẽ suy biến và không thể giải được.
r có ý nghĩa gì? Theo hướng dẫn chung: \(0{,}7 < |r| \le 1\) là tương quan mạnh, \(0{,}4 < |r| < 0{,}7\) là trung bình, \(0{,}2 < |r| < 0{,}4\) là yếu, và dưới 0,2 thì gần như không có tương quan. Giá trị bằng 1 nghĩa là parabol đi qua mọi điểm.
Vì sao r ở đây không bao giờ âm? Máy tính này trả về căn bậc hai không âm của hệ số xác định, nên \(r\) luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1, bất kể đường cong đi theo hướng nào.
