Máy Tính Giải Phương Trình Bậc Hai

Nhập phép tính

a =

b =

c =

Giải phương trình a·x² + b·x + c = 0. Hệ số a không được bằng 0.

Kết quả

Số nghiệm của phương trình

two distinct real roots

x₁	2.00000
x₂	1.00000
Discriminant (b² − 4ac)	1

Công cụ này làm gì

Công cụ này giải mọi phương trình bậc hai viết ở dạng chuẩn \(a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0\) bằng công thức nghiệm quen thuộc. Bạn chỉ cần nhập ba hệ số, công cụ sẽ trả về cả hai nghiệm, giá trị của biệt thức delta, cùng một lời giải thích dễ hiểu cho biết nghiệm là số thực hay số phức. Công cụ xử lý được cả hệ số âm và biểu diễn nghiệm phức liên hợp theo dạng quen thuộc \(p \pm q \cdot i\).

Nghiệm thực của phương trình bậc hai là nơi parabol cắt trục x.

Cách sử dụng

Nhập hệ số của \(x^{2}\) vào ô a, hệ số của \(x\) vào ô b, và số hạng tự do vào ô c. Hệ số a không được bằng 0 — nếu \(a = 0\) thì phương trình trở thành bậc nhất chứ không còn là bậc hai, và lúc này công cụ sẽ tự động giải phương trình \(b \cdot x + c = 0\). Nhấn nút tính để xem \(x_1\), \(x_2\) và biệt thức delta.

Giải thích công thức

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai là $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$ Biểu thức nằm dưới dấu căn, \(\Delta = b^{2} - 4ac\), được gọi là biệt thức delta. Dấu của nó cho bạn biết tất cả về số nghiệm: khi \(\Delta > 0\) phương trình có hai nghiệm thực phân biệt; khi \(\Delta = 0\) phương trình có một nghiệm thực kép (nghiệm lặp lại hai lần); khi \(\Delta < 0\) phương trình có hai nghiệm phức liên hợp, với phần thực là \(-b/(2a)\) và phần ảo là \(\sqrt{-\Delta}/(2a)\).

Quảng cáo

Biệt thức quyết định bản chất của nghiệm: hai nghiệm thực, một nghiệm kép hoặc nghiệm phức.

Ví dụ minh họa

Giải phương trình \(x^{2} - 3x + 2 = 0\), tức là \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\). Biệt thức delta là $$\Delta = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1,$$ là số dương nên phương trình có hai nghiệm thực. \(\sqrt{1} = 1\), ta được \(x_1 = (3 + 1)/2 = 2\) và \(x_2 = (3 - 1)/2 = 1\). Phương trình phân tích thành \((x - 2)(x - 1) = 0\), đúng với kết quả vừa tìm được.

Câu hỏi thường gặp

Nếu biệt thức delta âm thì sao? Phương trình không có nghiệm thực; công cụ sẽ trả về hai nghiệm phức liên hợp theo dạng \(p \pm q \cdot i\).

Tại sao a không được bằng 0? Vì khi đó mẫu số \(2a\) sẽ bằng 0, và phương trình cũng không còn là bậc hai nữa. Trong trường hợp này, công cụ sẽ giải phương trình bậc nhất với nghiệm \(x = -c/b\).

Nghiệm kép có nghĩa là gì? Khi \(\Delta = 0\), parabol chỉ tiếp xúc với trục hoành tại đúng một điểm, nên hai nghiệm trùng nhau: \(x = -b/(2a)\).