Công thức Viète là gì?
Năm 1593, nhà toán học người Pháp François Viète đã công bố tích vô hạn đầu tiên được biết đến giúp biểu diễn hằng số pi dưới dạng giải tích đóng. Công thức này được xây dựng hoàn toàn từ những căn bậc hai lồng nhau của một phần hai. Công cụ này sẽ tính tích đó tới một số lượng số hạng mà bạn chọn và cho thấy giá trị hội tụ nhanh đến mức nào về 3,14159265358979. Đây là toán học thuần túy, nên kết quả là như nhau ở bất kỳ đâu trên thế giới.
$$\frac{2}{\pi} = \sqrt{\tfrac12} \cdot \sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12}} \cdot \sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12}}} \cdots$$
Cách sử dụng
Hãy nhập số vòng lặp (số số hạng của tích cần tính, mặc định là 100) rồi chọn số chữ số bạn muốn hiển thị. Mỗi số hạng tăng thêm tương ứng với việc nhân đôi số cạnh của một đa giác đều nội tiếp, đi từ hình 4 cạnh lên tới đa giác \(2^{n+1}\) cạnh. Vì phiên bản dựng lại này dùng độ chính xác kép IEEE 754 tiêu chuẩn, pi được xác định chính xác đến khoảng 15 chữ số có nghĩa; bộ chọn số chữ số hiển thị chỉ đơn giản làm tròn kết quả về số chữ số đó.
Giải thích công thức
Bắt đầu với \(s = 0\) và \(y = 1\). Tại mỗi bước \(k\), cập nhật \(s\) thành căn bậc hai của \((1 + s) / 2\), rồi nhân giá trị đó vào tích đang tính \(y\). Mỗi thừa số bằng \(\cos(\pi / 2^{k+1})\), và tích của các cosin này tiến dần về \(2/\pi\). Do đó pi được xấp xỉ bằng 2 chia cho tích đang tính \(y\). Giá trị ước lượng tăng dần lên phía pi từ bên dưới, mỗi số hạng giúp đạt thêm khoảng một chữ số nhị phân đúng.
$$s_k=\sqrt{\tfrac{1+s_{k-1}}{2}},\quad y_k=\prod_{i=1}^{k}s_i,\quad \pi=\frac{2}{y_k}$$
Ví dụ minh họa
k=1: \(s = \sqrt{0{,}5} = 0{,}70710678\), \(y = 0{,}70710678\), \(\pi \approx 2{,}82842712\). k=2: \(s = 0{,}92387953\), \(y = 0{,}65328148\), \(\pi \approx 3{,}06146746\). k=3: \(\pi \approx 3{,}12144515\). k=4: \(\pi \approx 3{,}13654849\). Đến k=20, giá trị đã khớp với pi tới 14 chữ số thập phân, và bất kỳ số vòng lặp nào khoảng 30 trở lên đều cho ra cố định 3,14159265358979 ở độ chính xác kép.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao tăng số chữ số hiển thị vượt quá 15 lại không có tác dụng? Số thực dấu phẩy động độ chính xác kép tiêu chuẩn chỉ lưu được khoảng 15 đến 16 chữ số có nghĩa, nên phép tính nền tảng không thể cho ra nhiều hơn thế dù bạn chọn bao nhiêu chữ số.
Vì sao số vòng lặp quá nhỏ lại cho ước lượng kém? Tích này hội tụ theo cấp số nhân; với chỉ vài số hạng, bạn vẫn đang xấp xỉ một đa giác có ít cạnh, nên giá trị thấp hơn pi một cách rõ rệt.
Kết quả có bao giờ vượt quá pi không? Không. Mỗi thừa số đều là một cosin nhỏ hơn 1, nên \(2/y\) luôn tiến đến pi từ bên dưới, tức là một giá trị ước lượng thiếu.
