¿Qué es la fórmula de Viète?
En 1593, el matemático francés François Viète publicó el primer producto infinito conocido que expresa la constante pi de forma analítica cerrada. Está construido por completo a partir de raíces cuadradas anidadas de un medio. Esta calculadora evalúa ese producto hasta un número de términos que tú elijas y muestra con qué rapidez el valor converge a 3.14159265358979. Es matemática pura, así que devuelve el mismo resultado en cualquier parte del mundo.
$$\frac{2}{\pi} = \sqrt{\tfrac12} \cdot \sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12}} \cdot \sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12}}} \cdots$$
Cómo usarla
Introduce el número de iteraciones (la cantidad de términos del producto que se van a evaluar; el valor por defecto es 100) y elige cuántos dígitos quieres ver en pantalla. Cada término adicional equivale a duplicar el número de lados de un polígono regular inscrito, pasando de un cuadrilátero a un polígono de \(2^{n+1}\) lados. Como esta implementación utiliza la doble precisión estándar IEEE 754, pi se resuelve con unos 15 dígitos significativos; el selector de dígitos mostrados simplemente redondea el resultado a esa cantidad de cifras.
La fórmula explicada
Parte de \(s = 0\) e \(y = 1\). En cada paso \(k\), actualiza \(s\) a la raíz cuadrada de \((1 + s) / 2\) y luego multiplica ese valor en el producto acumulado \(y\). Cada factor es igual a \(\cos(\pi / 2^{k+1})\), y el producto de estos cosenos tiende a \(2/\pi\). Por tanto, pi se aproxima dividiendo 2 entre el producto acumulado \(y\). La estimación crece hacia pi desde abajo, ganando aproximadamente un dígito binario correcto por cada término.
$$s_k=\sqrt{\tfrac{1+s_{k-1}}{2}},\quad y_k=\prod_{i=1}^{k}s_i,\quad \pi=\frac{2}{y_k}$$
Ejemplo resuelto
k=1: \(s = \sqrt{0.5} = 0.70710678\), \(y = 0.70710678\), \(\pi \approx 2.82842712\). k=2: \(s = 0.92387953\), \(y = 0.65328148\), \(\pi \approx 3.06146746\). k=3: \(\pi \approx 3.12144515\). k=4: \(\pi \approx 3.13654849\). Para k=20 el valor ya coincide con pi hasta 14 decimales, y cualquier número de iteraciones de unas 30 o más fija 3.14159265358979 en doble precisión.
Preguntas frecuentes
¿Por qué aumentar los dígitos mostrados más allá de 15 no sirve de nada? El punto flotante de doble precisión estándar solo conserva entre 15 y 16 dígitos significativos, de modo que el cálculo subyacente no puede resolver más que eso, sin importar lo que indique el selector.
¿Por qué un número de iteraciones muy pequeño da una estimación pobre? El producto converge geométricamente; con apenas unos pocos términos sigues aproximando un polígono de pocos lados, por lo que el valor queda notablemente por debajo de pi.
¿El resultado llega a superar pi en algún momento? No. Cada factor es un coseno menor que 1, así que \(2/y\) siempre se acerca a pi desde abajo, como una subestimación.
