ما هي صيغة فييت؟
في عام 1593 نشر عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت أول جداء لانهائي معروف يعبّر عن الثابت باي في صورة تحليلية مغلقة. وقد بُنيت هذه الصيغة بالكامل من جذور تربيعية متداخلة للعدد نصف (½). تحسب هذه الأداة هذا الجداء حتى عدد محدد من الحدود، وتُظهر مدى سرعة تقارب القيمة نحو 3.14159265358979. إنها رياضيات بحتة، وتعطي النتيجة ذاتها في أي مكان في العالم.
$$\frac{2}{\pi} = \sqrt{\tfrac12} \cdot \sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12}} \cdot \sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12}}} \cdots$$
كيفية الاستخدام
أدخل عدد التكرارات (أي عدد حدود الجداء المراد حسابها، والقيمة الافتراضية هي 100)، ثم اختر عدد الأرقام التي تريد عرضها. كل حدّ إضافي يقابل مضاعفة عدد أضلاع مضلّع منتظم محاط بدائرة، بدءًا من مضلّع رباعي ووصولًا إلى مضلّع له \(2^{n+1}\) ضلعًا. ولأن هذا الحساب يعتمد على دقة الفاصلة العائمة المزدوجة وفق المعيار IEEE 754، فإن قيمة باي تُحسب بدقة تبلغ نحو 15 رقمًا معنويًا؛ أما خيار عدد الأرقام المعروضة فيقوم ببساطة بتقريب النتيجة إلى ذلك العدد من الأرقام.
شرح الصيغة
ابدأ بالقيمتين \(s = 0\) و \(y = 1\). في كل خطوة \(k\)، حدّث قيمة \(s\) لتصبح الجذر التربيعي للمقدار \((1 + s) \div 2\)، ثم اضرب هذه القيمة في الجداء المتراكم \(y\). كل عامل من هذه العوامل يساوي \(\cos(\pi / 2^{k+1})\)، وحاصل ضرب جيوب التمام هذه يؤول إلى \(2/\pi\). وبذلك يمكن تقريب باي بقسمة 2 على الجداء المتراكم \(y\). تتصاعد القيمة التقديرية نحو باي من الأسفل، مكتسبةً نحو رقم ثنائي صحيح واحد مع كل حدّ.
$$s_k=\sqrt{\tfrac{1+s_{k-1}}{2}},\quad y_k=\prod_{i=1}^{k}s_i,\quad \pi=\frac{2}{y_k}$$
مثال محلول
k=1: \(s = \sqrt{0.5} = 0.70710678\)، و\(y = 0.70710678\)، فيكون تقريب باي \(\approx 2.82842712\). k=2: \(s = 0.92387953\)، و\(y = 0.65328148\)، فيكون تقريب باي \(\approx 3.06146746\). k=3: تقريب باي \(\approx 3.12144515\). k=4: تقريب باي \(\approx 3.13654849\). وعند \(k=20\) تطابق القيمة باي حتى 14 منزلة عشرية، وأي عدد تكرارات يبلغ نحو 30 أو أكثر يثبّت القيمة عند 3.14159265358979 ضمن الدقة المزدوجة.
الأسئلة الشائعة
لماذا لا تفيد زيادة عدد الأرقام المعروضة فوق 15؟ الفاصلة العائمة ذات الدقة المزدوجة لا تحتفظ إلا بنحو 15 إلى 16 رقمًا معنويًا، لذلك لا يمكن للحساب الأساسي أن يميّز أكثر من ذلك مهما كان الخيار المحدد.
لماذا يعطي عدد التكرارات الصغير تقديرًا ضعيفًا؟ يتقارب الجداء بمعدل هندسي؛ فمع عدد قليل من الحدود تظل تقرّب مضلّعًا قليل الأضلاع، ولذلك تكون القيمة أقل من باي بشكل ملحوظ.
هل تتجاوز النتيجة قيمة باي يومًا ما؟ لا. كل عامل هو جيب تمام أصغر من 1، لذلك فإن المقدار \(2/y\) يقترب دائمًا من باي من الأسفل بوصفه تقديرًا أقل من القيمة الحقيقية.
