ما هي حاسبة قانون ضعف الزاوية؟
تقوم هذه الأداة بحساب متطابقات ضعف الزاوية المثلثية لأي زاوية θ. أدخل الزاوية بالدرجات أو الراديان، وستحصل في الحال على قيم جا(2θ) وجتا(2θ) وظا(2θ) دفعة واحدة. تعبّر هذه المتطابقات عن دالة مثلثية لضعف الزاوية بدلالة دوال الزاوية المفردة، وهي ضرورية لتبسيط المقادير وحل المعادلات المثلثية وإجراء عمليات التكامل.
طريقة الاستخدام
اكتب قيمة الزاوية θ، ثم حدّد ما إذا كانت بالدرجات أم بالراديان، واقرأ النتائج الثلاث. تُحوَّل الدرجات داخليًا إلى راديان (بضربها في \(\pi/180\)) قبل تطبيق الدوال المثلثية عليها.
شرح القوانين
متطابقة الجيب هي: $$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$ أما متطابقة جيب التمام فهي: $$\cos 2\theta = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$$ (وتكافئ أيضًا \(2\cos^{2}\theta - 1\) أو \(1 - 2\sin^{2}\theta\)). ومتطابقة الظل هي: $$\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$$ تكون صيغة الظل غير معرّفة عند كل قيمة يكون فيها \(\cos 2\theta = 0\) (مثلًا عند \(\theta = 45^\circ\) حيث يصبح \(1 - \tan^{2}\theta = 0\))، ولذلك تُشير الحاسبة في تلك الحالات إلى أن القيمة «غير معرّفة».
مثال محلول
عند \(\theta = 30^\circ\): \(\sin\theta = 0.5\)، \(\cos\theta = 0.8660\). إذًا $$\sin 2\theta = 2(0.5)(0.8660) = 0.8660$$ وهي تساوي \(\sin(60^\circ)\). $$\cos 2\theta = 0.8660^{2} - 0.5^{2} = 0.75 - 0.25 = 0.5 = \cos(60^\circ)$$ $$\tan 2\theta = \frac{\sin(60^\circ)}{\cos(60^\circ)} \approx 1.7320$$
الأسئلة الشائعة
لماذا تظهر قيمة ظا(2θ) على أنها «غير معرّفة»؟ لأن الظل يكون غير معرّف عندما تبلغ زاويته \(90^\circ\) (\(\pi/2\)) مضافًا إليها مضاعفات \(180^\circ\). فعند \(\theta = 45^\circ\) تكون \(2\theta = 90^\circ\) ويصبح \(\cos 2\theta = 0\)، أي إن مقام النسبة يساوي صفرًا.
هل يمكنني استخدام الراديان؟ نعم، اختر خيار «الراديان» ولن يُجرى أي تحويل.
هل تتكرر النتائج؟ نعم، فالدوال المثلثية دورية، ولذلك تعطي الزوايا التي تختلف بمقدار دورات كاملة النتائج نفسها.
