ما هي حاسبة تخفيض الأس المثلثي؟
تتيح لك متطابقات تخفيض الأس إعادة صياغة الدوال المثلثية المربّعة (جا²θ، جتا²θ، ظا²θ) باستخدام جيب تمام الزاوية المضاعفة من الدرجة الأولى فقط، أي جتا 2θ. وهذا أمر بالغ الأهمية عند تكامل الدوال المثلثية، أو تبسيط المقادير، أو حل المعادلات في التفاضل والتكامل والفيزياء. تحسب هذه الأداة الصيغ المخفّضة الثلاث جميعها لأي زاوية تُدخلها، سواء كانت بالدرجات أو بالراديان.
طريقة الاستخدام
أدخل الزاوية θ، واختر ما إذا كانت بالدرجات أم بالراديان، وستحصل فورًا على جا²θ وجتا²θ وظا²θ بالإضافة إلى القيمة الوسيطة جتا 2θ. تُحوَّل الدرجات داخليًا إلى راديان باستخدام العلاقة \(\theta_{\text{راديان}} = \theta_{\text{درجة}} \times \frac{\pi}{180}\).
شرح القانون
انطلاقًا من متطابقة الزاوية المضاعفة \(\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta = 2\cos^{2}\theta - 1\)، نعيد ترتيب الحدود لعزل المقادير المربّعة:
$$\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}, \quad \cos^{2}\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$$ وبقسمة الأولى على الثانية نحصل على $$\tan^{2}\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}.$$ تكون صيغة الظل غير معرّفة عندما يكون \(1 + \cos 2\theta = 0\) (أي عند θ = 90°، 270°، …).
مثال محلول
لنفترض أن θ = 30°. إذن 2θ = 60° و \(\cos 60° = 0.5\). وبذلك يكون $$\sin^{2}30° = \frac{1 - 0.5}{2} = 0.25,$$ و $$\cos^{2}30° = \frac{1 + 0.5}{2} = 0.75,$$ و $$\tan^{2}30° = \frac{0.5}{1.5} \approx 0.3333.$$ وتتطابق هذه النتائج مع القيم الدقيقة المعروفة (\(\sin 30° = 0.5\)، \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)).
الأسئلة الشائعة
لماذا نستخدم متطابقات تخفيض الأس؟ لأنها تخفّض الأس الموجود على الدوال المثلثية، مما يجعل كثيرًا من التكاملات (مثل \(\int \sin^{2}\theta \, d\theta\)) قابلة للحل بصيغة مغلقة.
ماذا لو كانت ظا²θ غير معرّفة؟ عندما يساوي \(1 + \cos 2\theta\) صفرًا ينعدم المقام، ومن ثَمّ لا تكون لـ ظا²θ قيمة منتهية عند تلك الزوايا.
أيهما أفضل: الدرجات أم الراديان؟ كلاهما يعطي النتيجة المثلثية نفسها؛ اختر الراديان لأعمال التفاضل والتكامل، والدرجات للهندسة.
