次数下げ計算ツールとは？
次数下げの公式（半角の公式）を使うと、2乗の三角関数（sin²θ、cos²θ、tan²θ）を、2倍角のコサイン cos 2θ という1次の項だけで書き直すことができます。これは三角関数の積分、式の簡略化、微分積分や物理での方程式を解くときに欠かせないテクニックです。本ツールでは、入力した角度（度数・ラジアンのどちらでも可）について、3つの次数下げ後の形をまとめて計算します。
使い方
角度 \(\theta\) を入力し、単位を「度数」か「ラジアン」から選ぶだけで、\(\sin^{2}\theta\)・\(\cos^{2}\theta\)・\(\tan^{2}\theta\)、そして途中計算となる \(\cos 2\theta\) の値が即座に表示されます。度数は内部で \(\theta_{\mathrm{rad}} = \theta_{\mathrm{deg}} \times \frac{\pi}{180}\) の式を使ってラジアンに変換しています。
公式の解説
出発点は2倍角の公式 $$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta = 2\cos^{2}\theta - 1$$ です。これを2乗の項について解き直すと、次のようになります。
$$\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}, \quad \cos^{2}\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$$ そしてこの2式の比をとると $$\tan^{2}\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}$$ が得られます。なお、\(1 + \cos 2\theta = 0\) となるとき（つまり \(\theta = 90°\)、\(270°\)、…）には \(\tan^{2}\theta\) は定義されません。
計算例
\(\theta = 30°\) の場合を考えます。すると \(2\theta = 60°\) で \(\cos 60° = 0.5\) です。したがって $$\sin^{2}30° = \frac{1 - 0.5}{2} = 0.25, \quad \cos^{2}30° = \frac{1 + 0.5}{2} = 0.75, \quad \tan^{2}30° = \frac{0.5}{1.5} \approx 0.3333$$ となります。これらは既知の正確な値（\(\sin 30° = 0.5\)、\(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)）とも一致します。
よくある質問
次数下げの公式は何のために使うの？ 三角関数の2乗を1次に下げられるため、\(\int \sin^{2}\theta \, d\theta\) のような多くの積分を閉じた形で解けるようになります。
tan²θ が定義されない場合は？ \(1 + \cos 2\theta\) がゼロになると分母が消えてしまうため、その角度では \(\tan^{2}\theta\) に有限の値が存在しません。
度数とラジアンはどちらがよい？ 結果はどちらでも同じです。微分積分の問題ではラジアン、図形の問題では度数を選ぶとよいでしょう。
